Основные понятия и определения финансовой математики:

Проценты – доход от предоставления капитала в долг в различной форме (ссуды, кредиты и т.д.), либо от инвестиций производственного или финансового характера.

Первоначальная денежная сумма (настоящая, современная, текущая, приведенная) – величина капитала, имеющегося на начальный момент времени (или величина капитала, вкладываемого в рассматриваемую операцию).

Процентная ставка – величина, характеризующая интенсивность начисления процентов.

Наращение (компаудинг) – увеличение первоначальной денежной суммы за счет присоединения начисленных процентов.

Наращенная (будущая) денежная сумма – первоначальная денежная сумма вместе с начисленными процентами.

Дисконтирование – определение текущего финансового эквивалента будущей денежной суммы (приведение будущей денежной суммы к настоящему моменту времени).

Коэффициент наращения – величина, показывающая, во сколько раз вырос первоначальный капитал.

Период начисления – период времени, в течение которого начисляются проценты. Он может выражаться в днях или в годах, являться как целым, так и нецелым числом.

Интервал начисления – минимальный промежуток времени, по прошествии которого начисляются проценты. Период начисления может состоять из одного или нескольких равных интервалов начисления.

Временная база для расчета процентов Т - количество дней в году, которое берется для расчета процентов. В зависимости от способа определения продолжительности финансовой операции, рассчитывается либо точный, либо обыкновенный процент.

Возможны следующие варианты:

Существует несколько способов начисления процентов и, соответственно, несколько видов процентных ставок. В зависимости от применяемого способа начисления финансовые результаты могут достаточно сильно различаться. При этом разница будет тем больше, чем больше вкладываемый капитал, применяемая процентная ставка и продолжительность периода начисления.

Общее представление о различных способах начисления процентов дает следующая схема:

Способы начисления процентов

Декурсивный

Антисипативный

Простые п/с

Сложные п/с

Простые п/с

Сложные п/с

Начисление n раз в году

Непрерывные проценты

Наиболее распространенным является декурсивный способ начисления процентов. При таком способе проценты I начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала P . Декурсивная процентная ставка (ссудный процент) i представляет собой выраженное в процентах отношение начисленного за данный интервал дохода (процентов) к сумме, имеющейся на начало этого интервала. Величина процентной ставки характеризует интенсивность начисления процентов.

Данной операции наращения соответствует следующее математическое выражение:

S = P + I = P + i P = P (1 + i )

Обратной данной операции является операция дисконтирования , т.е. определения текущей величины P, эквивалентной будущей сумме S:

P = S / (1 + i )

С точки зрения концепции временной стоимости денег при данной процентной ставке суммы P иS эквивалентны, можно также сказать, что сумма P является текущим финансовым эквивалентом будущей суммы S .

При антисипативном (предварительном) способе проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из величины будущей денежной суммы. Антисипативной процентной ставкой (учетной ставкой) d будет выраженное в процентах отношение суммы начисленного дохода к будущей денежной сумме.

В этом случае формула для определения величины наращенной суммы имеет следующий вид:

S = P + I = P / (1 - d )

Соответственно, для операции дисконтирования, называемой в этом случае банковский учет:

P = S (1 - d )

На практике антисипативные процентные ставки применяются обычно при учете векселей. Полученный в этом случае процентный доход называют дисконтом – скидкой с будущей суммы.

При обоих способах начисления процентные ставки могут быть простыми , если они применяются к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления, и сложными , если по прошествии каждого интервала они применяются к сумме первоначального капитала и начисленных за предыдущие интервалы процентов.

Формулы определения будущей денежной суммы при различных вариантах начисления процентов за период n лет:

S = P (1 + n i ) - для случая простых декурсивных процентов

S = P (1 + i ) n - для случая сложных декурсивных процентов

S = P / (1 - n d ) - для случая простых антисипативных процентов

S = P / (1 - d ) n - для случая сложных антисипативных процентов

Если период начисления выражен в днях, формулы простых процентов примут вид:

S = P (1 + t/T i)

S = P / (1 – t/T d),

где t – продолжительность периода начисления.

Множители, показывающие, во сколько раз будущая денежная сумма больше величины первоначального капитала, называются коэффициентами наращения. Обратными к коэффициентам наращения являются коэффициенты дисконтирования , позволяющие определить текущий финансовый эквивалент будущей денежной суммы.

В некоторых случаях при анализе эффективности различных финансовых операций бывает полезно определять эквивалентные процентные ставки. Эквивалентные процентные ставки – это такие процентные ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты. Под одинаковыми начальными условиями в данном случае подразумеваются одна и та же величина первоначального капитала и равные периоды начисления дохода. Исходя из этого, можно составить уравнение эквивалентности и вывести соотношение для рассматриваемых ставок.

Например, для простых ссудной и учетной ставок такие соотношения будут выглядеть следующим образом:

d = i / (1 + n i ); i = d / (1 - n d ).

Ссудная ставка, эквивалентная учетной отражает доходность соответствующей операции учета и полезна при сравнении доходности и эффективности различных финансовых инструментов.

Учет инфляции в финансовых расчетах

Инфляция характеризуется снижением покупательной способности национальной валюты и общим повышением цен. На различных участников финансовой операции инфляционный процесс действует неодинаково. Так, если кредитор или инвестор могут потерять часть планируемого дохода за счет обесценения денежных средств, то заемщик получает возможность погасить задолженность деньгами сниженной покупательной способности.

Во избежание ошибок и потерь инфляционное влияние должно учитываться при планировании финансовых операций.

Обозначим через S a сумму, покупательная способность которой с учетом инфляции равна покупательной способности суммы S в отсутствие инфляции. Уровнем инфляции a называется отношение между инфляционным изменением некоторой величины за определенный период и ее первоначальным значением, выраженное в процентах (в расчетах используется относительный показатель):

a = (S a - S) / S 100%

Отсюда: S a = S (1 + a)

Это означает, что при уровне инфляции a, цены вырастают за период в (1 + a) раз. Множитель (1 + a) называется индексом инфляции I a .

Если рассматриваемый период состоит из нескольких интервалов, на каждом из которых уровень инфляции составляет величину a, цены в целом вырастут в (1 + a) n раз. Общий итог выражается следующим соотношением:

S a = S (1 + a ) n

Отсюда следует первый важный вывод, касающийся инфляционного процесса:

Инфляционный рост аналогично наращению первоначального капитала по правилу сложных процентов. Только в этом случае мы не получаем доход, а теряем его.

Еще одно полезное соображение касается расчета ставки доходности, которая могла бы компенсировать инфляционные потери и обеспечить прирост капитала.

Пусть a - годовой уровень инфляции,

i – желаемая доходность финансовой операции (очищенная от влияния инфляции)

i a - ставка доходности компенсирующая инфляцию.

Тогда для наращенной суммы S, которая в условиях инфляции превратится в сумму S a , можно записать следующее выражение:

S a = P (1 + i) (1 + a)

Тот же результат может быть получен и другим способом:

S a = P (1 + i a)

Приравнивая правые части записанных равенств получим выражение для расчета i a:

i a = i + a + i a

Это известная формула И. Фишера, в которой величина (a + i a) является «инфляционной премией» - необходимой добавкой, компенсирующей влияние инфляции.

Теперь можно сформулировать второй важный вывод:

Для расчета процентной ставки, компенсирующей инфляцию, к требуемой норме доходности необходимо прибавить не только величину уровня инфляции, но и произведение i a .

В реальной практике часто оказывается полезной модификация данной формулы, позволяющая найти реальную доходность операции в условиях инфляционного повышения цен:

i = (i a - a ) / (1 + a )

Большинство операций, связанных с вложением капитала, подразумевает в будущем не единовременное получение наращенной суммы, а целый денежный поток доходов в течение определенного периода. Основными параметрами, интересующими в этом случае инвестора или кредитора, являются современная (приведенная) стоимость денежного потока, его будущая (наращенная) величина, а также доходность финансовой операции.

Будем использовать следующие обозначения:

P – величина вложенного капитала,

CF k – величина k- го элемента денежного потока,

i – ставка дисконтирования (обычно - сложная ставка ссудного процента),

А – приведенная стоимость (стоимость) денежного потока,

S – будущая стоимость денежного потока,

n – число элементов денежного потока.

Приведенной стоимостью денежного потока называется сумма всех его элементов приведенных (дисконтированных) к настоящему моменту времени:

А = CF 1 / (1 + i) + CF 2 / (1 + i)? + … + CF n / (1 + i) n

Аналогично, будущая стоимость денежного потока, это сумма его наращенных элементов на момент последней выплаты:

S = CF 1 (1 + i) n-1 + CF 2 (1 + i) n- ? + … + CF n

Доходностью финансовой операции называется такая декурсивная процентная ставка, при дисконтировании по которой приведенная стоимость денежного потока доходов совпадает с величиной вложенного капитала: P = A. Для нахождения такой ставки в общем случае приходится решать уравнение n – ой степени .

Значения коэффициентов наращения и дисконтирования в случае использования сложных декурсивных ставок можно найти в специальных таблицах, приведенных в приложении.

Для определения доходности краткосрочной финансовой операции (менее одного года) обычно используется простая ставка ссудного процента, для долгосрочной операции – сложная.

Тема: Математические основы финансового менеджмента

Вопросы:

Способы начисления процентов

Сущность простых и сложных процентов

Методы оценки аннуитетов

Ответы:

1.Способы начисления процентов

Процента – это доход от предоставления капитала в долг в различных формах либо от инвестиций производственного или финансового характера.

Наращение первоначальной суммы долга – это увеличение суммы долга за счёт присоединения начисленных процентов (дохода).

Коэффициент наращения – это величина, показывающая во сколько раз вырос первоначальный капитал.

Период начисления – это промежуток времени, за который начисляются проценты.

Существует 2 способа определения и начисления процентов:

Дискурсивный способ начисления процентов – проценты начисляются в конце каждого интервала, хи величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала, дискурсивная процентная ставка представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного, за определённый интервал, дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала.

Антисипотивный способ начисления процентов – проценты начисляются в начале каждого интервала, сумма процентных денег определяется исходя из наращенной сумме. Процентной ставкой будет, выраженное в процентах отношение суммы дохода, выплачиваемого за определённый период к величине наращённое суммы, полученной по прошествии этого интервала.

В мировой практике дискурсивный способ наращения процентов получил наибольшее распространение, а антисипотивный способ наращения процентов рассматривается как банковское дисконтирования или банковский учёт векселей, и обычно применяется в периоды высоких темпов инфляции.

2.Сущность простых и сложных процентов

Известны 2 основные схемы дискретного начисления процентов:

Схема простых процентов предполагает неизменность базы с которой происходит исчисление. Процесс дисконтирования по схеме простых процентов определяется по формуле:

Схема сложных процентов предполагает изменность за счёт капитализации процентов начисленных но не выплаченных к основной сумме. Наращение сложных процентов:

Мультиплицирующий множитель в процессе наращения для определения бедующей стоимости, его значения табулированы.

Процесс в котором заданы исходная сумма и ставка называется процессом наращения, искомая величина – наращенной суммой, а используемая в операции ставка – ставкой наращения.

Процесс в котором заданы ожидаемая в будущем к получению сумма и ставка называется процессом дисконтирования , искомая величина – приведённой суммой , а используемая в операции ставка – ставкой дисконтирования.

Процесс дисконтирования по простым процента осуществляется по формуле:

Процесс дисконтирования по схеме сложных процентов осуществляется по формуле:

Дисконтирующий множитель ля определения настоящей суммы, его значения табулированы.

4.Методы оценки аннуитетов

Поток однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течении определённого количества лет называется аннуитетом (финансовой рентой).

Примеры аннуитетов: пенсионный фонд, погашение заёмщиком кредита.

Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения задач:

Прямой – т.е. производится оценка с позиции будущего и реализуется схема наращения (Схема наращения аннуитета постнумерандо.

А-сумма аннуитета

FM3(i;n) – мультиплицирующий множитель для аннуитета в процессе наращения, значения так же табулированы

Схема наращения для аннуитета пренумеранда реализуется по формуле

FV=A*FM3(i;n)*(1+i)

Обратной, т.е. проводится оценка с позиции настоящего, реализуется схема дисконтирования.

Процесс дисконтирования для аннуитета постнумеранда осуществляется по формуле

A*FM4(i;n) –дисконтирующий множитель для аннуитета, его значения так же табулированы.

Процент дисконтирования для пренумерендо: =A*FM4(i;n)*(1+i)

Прочитав данную главу, вы будете знать:

• o декурсивный и антисипативный способы;
• o учет влияния инфляции.

Расчет стоимости предприятия (бизнеса), как и большинство экономических расчетов, основывается на вычислении процентов декурсивным или антисипативным (предварительным) способом и теории аннуитетов.

Проценты - это доход в различных формах от предоставления финансовых средств (капитала) в долг или инвестиций.

Процентная ставка - показатель, характеризующий величину дохода или интенсивность начисления процентов.

Коэффициент наращения - величина, показывающая соотношение наращенного первоначального капитала.

Период начисления - промежуток времени, по истечении которого начисляются проценты (получается доход). Период начисления может делиться на интервалы начисления.

Интервал начисления - минимальный период, по прошествии которого происходит начисление части процентов. Проценты могут начисляться в конце интервала начисления (декурсивный способ) или в начале (антисипативный или предварительный способ).

Декурсивный способ

Декурсивная процентная ставка (ссудный процент) - это отношение суммы дохода, начисленного за определенный период, к сумме, имеющейся на начало данного периода.

Когда после начисления дохода за период этот доход выплачивается, а в следующий период процентный доход начисляется на первоначальную сумму, тогда используется формулы начисления простых ставок ссудных процентов.

Если ввести обозначения:

i (%) - годовая ставка ссудного процента (income); i - относительная величина годовой ставки процентов; I - сумма процентных денег, выплачиваемых за период (год);

P - общая сумма процентных денег за весь период начисления;

Р - величина первоначальной денежной суммы (present value);

F - наращенная сумма (future value);

k n - коэффициент наращения;

п - количество периодов начисления (лет);

d - продолжительность периода начисления в днях;

К - продолжительность года в днях К = 365 (366), то декурсивная процентная ставка (i):

Отсюда (6.1)

Тогда коэффициент наращения:

Если интервал наращения меньше одного периода (года) , то

Определение величины наращенной суммы F (future value) называется компаундингом (compounding).

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 3 года по простой ставке 12% годовых. Определить наращенную сумму.

По формуле (6.1):

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 182 дня, год обыкновенный, по простой ставке процентов 12% годовых. Определить наращенную сумму.

По формуле (6.2):

Иногда возникает необходимость решить обратную задачу: определить величину первоначальной (текущей, приведенной) суммы Р (present value), зная, какой должна быть наращенная сумма F (future value):

Определение величины первоначальной (текущей, приведенной) суммы р (present value) называется дисконтированием (discounting).

Пример. Через 3 года необходимо иметь сумму 16 500 руб. Какую сумму в этом случае необходимо положить на депозит по простой ставке 12% годовых.

Преобразуя формулы 6.1-6.3, можно получить

Процентные ставки в разные периоды могут изменяться.

Если в течение различных периодов начисления п , п 2 ,..., n N , используются различные ставки процентов i 1 , i 2 ,..., i N , где N - общее количество периодов начисления, то сумма процентных денег в конце периодов начисления при ставке процентов i 1 :

где n 1 - количество периодов начисления при ставке процентов i 1 в конце периодов начисления при ставке процентов и т.д.

Тогда при JV-периодах начисления наращенная сумма (N - номер последнего периода) при любом :

где коэффициент наращения: (6.5)

Пример. Кредит в размере 250 000 руб. выдается на 2,5 года по простой ставке процентов. Процентная ставка за первый год i = 18%, а за каждое последующее полугодие она уменьшается на 1,5%. Определите коэффициент наращения и наращенную сумму.

По формуле (6.5): k n = 1 + 0,18 + 0,5 (0,165 + 0,15 + 0.135) = 1,405.

По формуле (6.4): F = 250 000 х 1,405 = 351 250 руб.

Обратная задача:

Если п к = 1, то , (6.7)

где коэффициент наращения:. (6.8)

Пример. Кредит в размере 250 000 руб. выдается на 5 лет по простой ставке процентов. Процентная ставка за первый год i

По формуле (6.8): k n = 1 + 0,18 + 0,165 + 0.15 + 0,135 + 0,12 = 1,75.

По формуле (6.7): F = 250 000 x 1,75 = 437 500 руб.

Когда после начисления дохода за период этот доход не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого периода (к сумме, создавшей этот доход), и в следующий период процентный доход начисляется на всю эту сумму, тогда используются формулы начисления сложных процентов.

Если к представленным обозначениям добавить:

i c - относительная величина годовой ставки сложных процентов;

k nc - коэффициент наращения в случае сложных процентов;

j - номинальная ставка сложных ссудных процентов, по которой вычисляется поинтервальная ставка сложных ссудных процентов, то за период начисления, равный году, наращенная сумма - составит: . За второй период (через год): и т.д.

Через п лет наращенная сумма составит:

где коэффициент наращения k nc равен:

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 3 года по сложной ставке 12% годовых. Определите наращенную сумму.

По формуле (6.9)

Решая обратную задачу:

где - коэффициент дисконтирования.

Коэффициент дисконтирования - величина, обратная коэффициенту наращения:

Пример. Через 3 года необходимо иметь сумму 16 500 руб. Какую сумму в этом случае необходимо вложить на депозит по сложной ставке 12% годовых.

Сравнивая коэффициенты наращения, при начислении простых и сложных процентов видно, что при п > 1. Чем больше периодов начисления, тем больше различие в величине наращенной суммы при начислении сложных и простых процентов.

Можно определить другие параметры:

п не является целым числом, то коэффициент наращения можно представить в двух видах:

где п - не кратное целому числу периодов начисления сложных процентов;

где п = п ц + d - общее количество периодов (лет) начисления, состоящее из целых и нецелого периодов начисления; п п d - количество дней нецелых (неполного) периода начисления; К = 365 (366) - количество дней в году; i c - относительная величина годовой ставки сложных процентов.

Оба варианта правомочны, но дают разные значения из-за разной точности вычисления.

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 3 года 6 месяцев по сложной ставке 12% годовых. Определите наращенную сумму.

• 1) F = 25 000 (1 + 0,12) 3,5 = 25 000 x 1,4868 = 37 170 руб.;
• 2) F = 25 000 (1 + 0,12) 3 (1 + (180: 365) 0,12) = 25 000 x 1,4049 x 1,0592 = 37 201 руб.

Величина годовой ставки сложных процентов i 1 , i 2 ,..., i N может быть разной в течение различных периодов начисления n 1 , n 2 ,..., n N .

Тогда наращенная сумма в конце первого периода (года) начисления:

Во втором периоде (через год):

В n-периоде (за п периодов (лет)):

Тогда коэффициент наращения:

Пример. Кредит в размере 250 000 руб. выдается на 5 лет по сложной ставке процентов. Процентная ставка за первый год i = 18%, а последующий год она уменьшается на 1,5%. Определите коэффициент наращения и наращенную сумму.

По формуле (6.14): k nc = (1 + 0,18)(1 + 0,165)(1 + 0,15)(1 + 0,135)(1 + 0,12) = 2,0096.

По формуле (6.13): F = 250 000 x 1,75 = 502 400 руб.

Обратная задача:

Если начисление сложных процентов производится поинтервально, т.е. несколько раз за период, то формула начисления за интервал

где j = i - номинальная ставка сложных ссудных процентов; т - количество интервалов начисления в периоде (поквартально, ежемесячно и т.д.).

Доход за интервал присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала.

Тогда наращенная сумма при поинтервальном начислении за каждый период через п периодов (лет) составит

Кроме того, можно определить другие параметры:

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на п = 3 года по сложной ставке 12% годовых, выплата по полугодиям т = 2. Определите наращенную сумму.

По формуле (6/16) .

Если количество периодов начисления сложных процентов п не является целым числом, то коэффициент наращения можно представить в виде

где п п - количество целых (полных) периодов (лет) начисления; р - количество целых (полных) интервалов начисления, но меньше общего количества интервалов в периоде, т.е. р < m;d - количество дней начисления, но меньше количества дней в интервале начисления.

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на и =3 года 8 месяцев, 12 дней по сложной ставке 12% годовых, выплата по полугодиям т = = 2. Определите наращенную сумму.

Большинство хозяйственных операций (приобретение основных средств, покупка/продажа ценных бумаг, лизинг, получение/погашение банковских кредитов, анализ инвестиционных проектов и др.) порождают денежные потоки. Осуществление этих операций сопровождается множеством выплат и поступлений денежных средств, образуя денежный поток, распределенный во времени.

В связи с этим в процессе управления финансами предприятия возникает необходимость в проведении специальных расчетов, связанных с движением денежных потоков в различные периоды времени. Ключевую роль в этих расчетах играет оценка стоимости денег во времени. Концепция такой оценки базируется на том, что стоимость денег с течением времени изменяется с учетом нормы прибыли, сложившейся на финансовом рынке, в качестве которой выступает ставка ссудного процента или норма доходности по государственным ценным бумагам.

Из принципа временной стоимости денег (Time Value of Money, TVM) вытекает два важных следствия:

• необходимость учета фактора времени, в особенности при проведении долгосрочных финансовых операций;

• некорректность суммирования денежных величин, относящихся к разным периодам времени.

Рассмотрим отдельные элементы методического инструментария стоимости денег.

Процент — сумма дохода от предоставления капитала в долг или плата за пользование ссудным капиталом во всех его формах (депозитный и кредитный процент, по облигациям и векселям).

Простой процент — сумма дохода, начисляемого к основной сумме капитала в каждом интервале, по которой дальнейшие расчеты не производят.

Сложный процент — сумма дохода, начисляемого в каждом интервале, которую не выплачивают, а присоединяют к основной сумме капитала (вклада) в последующем платежном периоде.

Процентная ставка — удельный показатель, в соответствии с которым в установленные сроки выплачивают сумму процентов в расчете на единицу капитала (вклада). На практике процентная ставка выражает соотношение годовой суммы процентного дохода к объему основного долга.

Будущая стоимость денег (Future Value, FV) — сумма вложенных в настоящий момент денежных средств, в которую они превратятся через определенный период времени с учетом выбранной процентной ставки.

Настоящая стоимость денег (Present Value, PV) — сумма будущих денежных средств (вклада), приведенных с учетом конкретной процентной ставки к настоящему моменту времени.

Наращение стоимости (компаундинг — compounding) — процесс пересчета настоящей стоимости денежных средств (вклада) в их будущую стоимость в конкретном периоде времени путем добавления к первоначальной сумме начисленной величины процента.

Дисконтирование стоимости (discounting) — процесс приведения будущей стоимости денежных средств (вклада) к их настоящей стоимости путем исключения из будущей суммы соответствующей величины процента (дисконта). Посредством такой финансовой операции достигают сопоставимости текущей стоимости предстоящих денежных потоков.

Период начисления — общий период времени, в течение которого осуществляют процесс наращения или дисконтирования денежной суммы (вклада).

Интервал начисления - это минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.

Декурсивный способ начисления процентов — способ, при котором проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала. Соответственно, декурсивная процентная ставка представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала.

Антисипативный способ (предварительный) начисления процентов — это способ, при котором проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы. Процентной ставкой будет выраженное в процентах отношение суммы дохода, выплачиваемого за определенный интервал, к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала. Определяемая таким способом процентная ставка называется учетной ставкой, или антисипативным процентом.

Наращение по простым процентам

Простые проценты используются в краткосрочных финансовых операциях, срок проведения которых меньше года или равен ему.

Наращение по годовой ставке простых процентов осуществляется по формуле:

FV = PV(1 + r × n), (1)

где FV — будущая стоимость;

PV — первоначальная стоимость;

n — число периодов (лет);

r — процентная ставка.

Пример 1

Клиент сделал вклад в банк в сумме 10 000 руб. под 12 % годовых сроком на пять лет. По формуле (1) находим:

FV = 10 000(1 + 0,12 × 5) = 16 000 руб.

Сумма начисленных процентов составит 6000 руб. (16 000 - 10 000).

Если продолжительность краткосрочной операции выражена в днях, то срок ее проведения корректируется следующим образом:

где t — число дней проведения операции;

В — временная база (число календарных дней в году).

Тогда будущую стоимость операции можно определить:

Время вклада (ссуды) может вычисляться или с учетом точного числа в месяцах, или при допущении, что расчетная продолжительность любого месяца равна 30 дням.

В результате конкретные расчеты по начислению процентов могут вестись по трем вариантам:

365/365 — точное число дней проведения операции и фактическое число дней в году (точные проценты);

365/360 — точное число дней проведения операции и финансовый год (12 месяцев по 30 дней);

360/360 — приближенное число дней проведения операции (месяц принимается равным 30 дням) и финансовый год (обыкновенные проценты).

Для одних и тех же условий начисления процентов проведение расчетов по этим вариантам приводит к несколько отличающимся финансовым последствиям.

Пример 2

Акционерное общество получило в банке ссуду в размере 200 тыс. руб. под 15% годовых на срок с 15 февраля до 15 апреля. Определить сумму, которую необходимо возвратить банку.

Сначала нужно определить число дней использования ссуды: 15 февраля - 46-й день в году, 15 апреля - 105-й день в году. Отсюда точный срок ссуды - 59 дней. Тогда, по формуле (3) находим:

Дисконтирование по простым процентам

Существует два способа дисконтирования.

Математическое дисконтирование — способ, основанный на решении задачи, обратной определению будущей стоимости. При проведении расчетов здесь используется процентная ставка.

С учетом принятых ранее обозначений формула дисконтирования по ставке r будет иметь вид:

(4)

Доход банка (FV - PV) называют дисконтом, а используемую норму приведения r — декурсивной ставкой процентов.

Пример 3

Какую цену заплатит инвестор за бескупонную облигацию, номинальная стоимость которой 500 тыс. руб., а срок погашения — 270 дней, если требуемая норма доходности — 20 %?

По формуле (4) при использовании обыкновенных процентов:

PV = 500 / (1 + 0,2 × 270 / 360) = 434,78 тыс. руб.;

точных процентов:

PV = 500 / (1 + 0,2 × 270 / 365) = 435,56 тыс. руб.

Банковское дисконтирование применяется при банковском учете векселей, при этом проценты начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока операции. При проведении расчетов используется учетная ставка d:

(5)

При дисконтировании по учетной ставке чаще всего используют временную базу 360/360 или 360/365. Используемую при этом норму приведения d называют антисипативной ставкой процентов.

Пример 4

Простой вексель на сумму 500 тыс. руб. со сроком погашения один год учитывается в банке через 270 дней по простой учетной ставке 20 %. Какую сумму получит владелец векселя?

Используем формулу (5), учитывая, что n — это разность во времени между моментом учета и сроком погашения векселя:

PV = 500 (1 - 0,2 × 90 / 360) = 475 тыс. руб.

Применение двух рассмотренных методов дисконтирования к одной и той же сумме приводит к разным результатам, даже при r = d. Учетная ставка дает более быстрое снижение суммы, чем обычная.

Пример 5

Простой вексель на сумму 100 тыс. руб. с оплатой через 90 дней учитывается в банке немедленно после получения. Необходимо определить сумму, полученную владельцем векселя при процентной/учетной ставке 15 %.

При использовании процентной ставки по формуле (4):

PV = 100 / (1 + 0,15 × 90 / 360) = 96,39 тыс. руб.

При использовании учетной ставки по формуле (5):

PV = 100 (1 - 0,15 × 90 / 360) = 96,25 тыс. руб.

Учетная ставка d применяется и для наращения по простым процентам (например, при определении будущей суммы контракта):

(6)

Изменим условия примера 5 следующим образом.

Пример 6

На какую сумму должен быть выписан вексель, чтобы поставщик, проведя операцию учета, получил стоимость товаров (100 тыс. руб.) в полном объеме, если учетная ставка — 15 %?

По формуле (6) определяем будущую стоимость (номинал) векселя:

FV = 100 / (1 - 0,15 × 90 / 360) = 103,896 тыс. руб.

Величина процентной ставки r или учетной ставки d может быть определена из соотношений (1) и (5):

(7)

(8)

Пример 7

Краткосрочное обязательство со сроком погашения 90 дней было приобретено по цене 98,22 ед. от номинала. Необходимо определить доходность операции для инвестора.

Она составляет (с использованием обыкновенных процентов):

Срок операции в днях определяется следующим образом:

Пример 8

Необходимо определить срок владения обязательством стоимостью 98,22 ед., погашаемого по номиналу, если требуемая норма доходности 7,2 %.

Эквивалентность процентных ставок r и d

Эквивалентные процентные ставки — это такие ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты.

Эквивалентные процентные ставки необходимо знать в случаях, когда существует возможность выбора условий финансовой операции и требуется инструмент для корректного сравнения различных процентных ставок.

Вывод формул эквивалентности базируется на равенстве соответствующих множителей наращения:

1 + n × r = (1 - n × d) - 1. (11)

С учетом формулы (11) для операций с продолжительностью менее года соотношения эквивалентности примут вид:

• временная база одинакова и равна В (360 или 365 дней):

• временная база ставки r равна 365 дням, а d — 360 дням:

Пример 9

Срок уплаты по векселю — 250 дней. При этом ставка простых процентов измеряется при временной базе 365 дней, а простая учетная ставка — при временной базе 360 дней. Какова будет доходность, измеренная в виде ставки простых процентов, учета векселя по простой учетной ставке 10 %?

Используя формулу (14) для r при заданных временных базах, получим:

r = 365 × 0,1 / (360 - 250 × 0,1) = 0,1089, или 10,89 %.

Допустим, что настоящая стоимость векселя — 100 000 руб. Тогда его номинальная стоимость по формуле (3) составит:

Наращение по сложным процентам

Сложные проценты применяются, как правило, в финансовых операциях, срок проведения которых более года. При этом базой исчисления процентов является как исходная сумма финансовой операции, так и сумма уже накопленных к этому времени процентов.

Наращение по сложным процентам имеет вид:

FV n = PV (1 + r) n . (16)

Наращение по сложным процентам подразумевает реинвестирование полученных доходов или капитализацию.

Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов j — годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.

При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина считается равной j / m. Тогда, если срок финансовой операции составляет n лет, выражение для определения наращенной суммы (16) примет вид:

При увеличении числа периодов начисления m будущая величина FV mn также возрастает.

Пример 10

Первоначальная сумма вложения 200 тыс. руб. определить наращенную сумму через пять лет при использовании сложной ставки процентов в размере 28% годовых. Решить пример для случаев, когда проценты начисляются по полугодиям, поквартально.

По формуле (16) для сложных процентных ставок:

FV = 200(1 + 0,28) 5 = 687,2 тыс. руб.

По формуле (17) для начисления по полугодиям:

FV = 200(1 + 0,28 / 2) 10 = 741,4 тыс. руб.

По той же формуле для поквартального начисления:

FV = 200(1 + 0,28 / 4) 20 = 773,9 тыс. руб.

Если срок финансовой операции n в годах не является целым числом, множитель наращения k определяется по формуле:

k = (1 + r) n a (1 + n b × r), (18)

где n = n a + n b ;

n a — целое число лет;

n b — оставшаяся дробная часть года.

На практике в данном случае часто применяют формулу (16) с соответствующим нецелым показателем степени. Однако этот способ является приблизительным. Чем больше значения входящих в формулу величин, тем погрешность при вычислениях будет больше.

Пример 11

Первоначальная сумма долга равна 50 000 тыс. руб. Необходимо определить наращенную сумму через 2,5 года, используя два способа начисления сложных процентов по ставке 25 % годовых.

По формуле (18) получаем:

FV = 50 000(1 + 0,25) 2 (1 + 0,5 × 0,25) = 87 890,6 тыс. руб.

Для второго способа используем формулу (16) с нецелым показателем степени:

FV = 50 000(1 + 0,25) 2,5 = 87 346,4 тыс. руб.

При использовании приблизительного метода упущенная выгода могла бы составить около 550 тыс. руб.

Если начисление сложных процентов осуществляется несколько раз в году и общее число интервалов начисления не является целым числом (mn — целое число интервалов начисления, l — часть интервала начисления), то выражение (17) принимает вид:

(19)

Для целого числа периодов начисления используется формула сложных процентов (16), а для оставшейся части — формула простых процентов (1).

На практике часто возникает необходимость сравнения условий финансовых операций, предусматривающих различные периоды начисления процентов. В этом случае соответствующие процентные ставки приводят к их годовому эквиваленту по формуле:

Полученную при этом величину называют эффективной процентной ставкой (effective percentage rate — EPR), или ставкой сравнения.

Пример 12

На четырехлетний депозит в 10 000 руб. производится ежеквартальное начисление сложных процентов по ставке 2,5 %, то есть из расчета 10 % годовых. Будет ли эквивалентной инвестицией депозит в 10 000 руб., вложенный на тот же срок под 10 %, начисляемых один раз в год?

Рассчитаем эффективную ставку для обеих операций:

• ежеквартально: EPR = (1 + 0,1 / 4) 4 - 1 = 0,103813;

• ежегодно: EPR = (1 + 0,1 / 1) 1 - 1 = 0,10.

Таким образом, условия помещения суммы в 10 000 руб. на депозит сроком на четыре года под 2,5 %, начисляемых ежеквартально, будут эквивалентными годовой ставке, равной 10,3813 %. Следовательно, первая операция более выгодна для инвестора.

Если известна величина EPR, номинальная ставка процентов может быть определена следующим образом:

Дисконтирование по сложным процентам

Рассмотрим использование при математическом дисконтировании сложных процентных ставок:

Если проценты будут начисляться m раз в году, то формула (22) примет вид:

Пример 13

Банк производит начисление процентов на внесенную сумму по сложной процентной ставке, равной 20 % в год. Какую сумму следует положить на депозит при условии, что вкладчик рассчитывает получить 10 000 тыс. руб. через 10 лет? Требуется рассмотреть два варианта начисления процентов — ежегодное и ежеквартальное.

При ежегодном начислении процентов по формуле (22):

PV = 10 000 / (1 + 0,2) 10 = 1615,1 тыс. руб.

При ежеквартальном начислении процентов по формуле (23):

PV = 10 000 / (1 + 0,2 / 4) 40 = 1420,5 тыс. руб.

Использование сложной учетной ставки

Для расчета операции дисконтирования по сложной учетной ставке используется формула:

PV n = FV n (1 - d) n . (24)

Пример 14

Владелец векселя номинальной стоимостью 500 тыс. руб. и периодом обращения 1,5 года предложил его банку сразу для учета, то есть за 1,5 года до погашения. Банк согласился учесть вексель по сложной учетной ставке 20 % годовых. Требуется определить дисконт, полученный банком, и сумму, выданную владельцу векселя.

Используя формулу (24), находим:

PV = 500 (1 - 0,2) 1,5 = 357,77 тыс. руб.

Дисконт банка составит: 500 - 357,77 = 142,23 тыс. руб.

Для данных условий определим сумму, которую получил бы владелец векселя, если бы банк произвел учет векселя по простой учетной ставке 20 %. Для этого используем формулу (5):

PV = 500 (1 - 0,2 × 1,5) = 350 тыс. руб.

Дисконт банка составит 500 - 350 = 150 тыс. руб.

Таким образом, банку выгоднее учитывать вексель по простой учетной ставке.

Если дисконтирование по сложной учетной ставке производится m раз в году, расчетная формула будет иметь следующий вид:

Пример 15

Сохраним условия предыдущего примера, но пусть расчет дисконтирования производится ежеквартально, то есть m = 4.

По формуле (25) получим:

PV = 500 (1 - 0,2 / 4) 6 = 367,55 тыс. руб.

Дисконт банка составит: 500 - 367,55 = 132,45 тыс. руб.

Доход банка при ежеквартальном дисконтировании будет меньше, чем при ежегодном дисконтировании, на: 142,23 - 132,45 = 9,78 тыс. руб.

При дисконтировании с начислением процентов за периоды менее года может использоваться понятие «эффективная сложная учетная ставка». Эффективная сложная учетная ставка, эквивалентная сложной учетной ставке при заданном значении m, определяется по формуле:

d эф = 1 - (1 - d / m) m . (26)

Пример 16

Долговое обязательство номинальной стоимостью 500 тыс. руб. должно быть погашено через пять лет. Сложная учетная ставка равна 20 % годовых. Начисление процентов ежеквартальное. Требуется определить настоящую величину стоимости обязательства и эффективную учетную ставку.

Используя формулы (25) и (26), получим:

PV = 500 (1 - 0,2 / 4) 20 = 179,243 тыс. руб.

d эф = 1 - (1 - 0,2 / 4) 4 = 0,18549, или 18,549 %.

Подставив значение 18,549 % в формулу (24), получим:

PV = 500 (1 - 0,18549) 5 = 179,247 тыс. руб.

Расхождение между величинами настоящей суммы, рассчитанными по этим формулам, находятся в пределах точности расчета.

Определение процентной ставки и срока проведения операции

При известных величинах FV, PV и n процентную ставку можно определить по формуле:

Пример 17

Сумма в 10 000 руб., помещенная в банк на четыре года, составила величину 14 641 руб. Необходимо определить доходность операции.

По формуле (27) находим:

r = (14 641 / 10 000) 1/4 - 1 = 0,1, или 10 %.

Длительность операции определяется логарифмированием:

Пример 18

Сумма в 10 000 руб., помещенная в банк под 10 % годовых, составила величину в 14 641 руб. Необходимо определить срок проведения операции.

По формуле (28) находим:

n = log (14 641 / 10 000) / log (1 + 0,1) = 4 года.

Вывод

Приведенные расчетные формулы описывают механизм влияния фактора времени на результат финансовых операций. Их использование позволит избежать ошибок и потерь в условиях снижения покупательной способности денег.

Е. Г. Моисеева,
канд. экон. наук, Арзамасский политехнический институт

При антисипативном способе начисления процентов сумма получаемого дохода рассчитывается исходя из суммы, получаемой по прошествии интервала начисления, т.е. из наращенной суммы. Так как проценты начисляются в начале каждого интервала начисления, заёмщик, естественно получает эту сумму за вычетом процентных денег. Такая операция называется дисконтированием по учётной ставке, а так же коммерческим или банковским учётом. Разница между стоимостью векселя и суммой, которую банк выдаст по этому векселю, называется дисконтом .

Введём следующие обозначения:

d - относительная величина учётной ставки;

P – сумма, получаемая заёмщиком;

S – сумма, которая должна быть возвращена;

n - продолжительность периода начисления в годах;

q – продолжительность периода начисления в днях;

К – продолжительность года в днях.

Простые учётные ставки.

Используются формулы:

Преобразуя последнее выражение получаем формулы для определения других показателей:

Сложные учетные ставки.

d c – относительная величина сложной учетной ставки;

–коэффициент наращения для случая учетной ставки;

По прошествии n лет наращенная сумма составит
,

а множитель наращения имеет вид

Пример 8. Первоначальная сумма долга равняется 25 тыс.руб. Определить величину наращенной суммы через три года при применении декурсивного и антисипативного способов начисления процентов. Годовая ставка – 25%.

Решение

При применении декурсивного способа начисления процентов по формуле
получаем: тыс.руб.При применении антисипативного способа начисления процентов по формуле
получаем:
тыс.руб. Данный пример наглядно демонстрирует ощутимость различия в результатах при разных способах начисления процентов. Разница составляет больше 10 тыс. руб.

Банковское дисконтирование связано с предоставлением коммерческого кредита, объектом которого является товар, а кредитным документом служит товарный вексель. В этом случае используется простая или сложная учетная ставка , представляющая собой плату, взимаемую банком за авансирование денежных средств при покупке (учете) ими векселей до наступления срока их погашения. Учетная ставка является по своей сути разницей (дисконтом) между номиналом векселя и ценой, по которой он был куплен (учтен) банком.

Расчет стоимости векселя методом банковского дисконтирования с использованием простой учетной ставки можно иллюстрировать следующим примером.

Пример 9. Организация реализовала свою продукцию на условиях коммерческого кредита с оформлением простого векселя, номинальной стоимостью 100 тыс.руб. и сроком на 90 дней. Учётная ставка процента за предоставленный кредит – 20% годовых. За 30 дней до истечения срока погашения векселя организация решила продать его банку. Требуется определить сумму, которую организация получит в зачет векселя:

P = S ∙ (1– d ∙ n )= 100 000 = 98,333 тыс.руб.

Тогда сумма дисконта (прибыли банка) составит:

100 – 98,333 =1,667 тыс.руб.

Расчет текущей стоимости векселя методом банковского дисконтирования по сложной учетной ставке рассмотрим на следующем примере.

Пример 10. Организация - владелец векселя номинальной стоимостью 100 тыс.руб. и периодом обращения 2 года предложила его банку сразу для учета, т.е. за 2 года до погашения. Банк согласился учесть этот вексель по сложной учетной ставке 20% годовых. Сумма, полученная организацией – владельцем векселя, составит:

P = S (1 – d) n = 100 (1 – 0,2) 2 = 100 ∙ 0,64 = 64 тыс.руб.

Дисконт банка: 100 – 64 = 36 тыс.руб.

На условиях этого же примера определим сумму, полученную организацией - владельцем векселя, если бы банк произвел учет векселя по простой учетной ставке – 20%. Тогда:

P = S ∙ (1 – d ∙ n) = 100 = 100 ∙ 0,6 = 60 тыс.руб.

Дисконт банка: 100 – 60 = 40 тыс.руб.

Банку в данном случае более выгоден учет векселя по проcтой учетной ставке.