Суть оценки стоимости приносящего прибыль предприятия состоит в том, что определяется текущая стоимость прибыли, которая будет получена в прогнозируемом периоде. Величина текущей стоимости прибыли не соответствует величине будущей прибыли, так как гривна, полученная завтра, стоит меньше, чем гривна, полученный сегодня. Это обусловлено в основном двумя причинами. Во-первых, деньги со временем приносят доход; во-вторых, инфляционные процессы обесценивают рубль. В связи с этим, чтобы определить текущую стоимость завтрашней гривны, необходимо проводить соответствующие расчеты.
Для определения стоимости собственности, приносящей до ход, необходимо определить текущую стоимость денег, которые будут получены через какое-то время в будущем.
Известно, а в условиях инфляции куда более очевидно, что деньги изменяют свою стоимость с течением времени. Основными операциями, позволяющими сопоставить разновременные деньги, являются операции накопления (наращивания) и дисконтирования.
Накопление - это процесс приведения текущей стоимости денег к их будущей стоимости, при условии, что вложенная сумма удерживается на счету в течение определенного времени, принося периодически накапливаемый процент.
Дисконтирование - это процесс приведения денежных поступлений от инвестиций к их текущей стоимости.
В оценке эти финансовые расчеты базируются на сложном процессе, когда каждое последующее начисление ставки процента осуществля ется как на основную сумму, так и на начисленные за предыдущие периоды невыплаченные проценты.
Всего рассматривают шесть функций денежной единицы, основанных на сложном проценте. Для упрощения расчетов разработаны таблицы шести функций для известных ставок дохода и периода накопления (I и n), кроме того, можно воспользоваться финансовым калькуля тором для расчета искомой величины.
1 функция: Будущая стоимость денежной единицы (накопленная сумма денежной единицы), (fvf , i , n).
Если начисления осуществляются чаще, чем один раз в год, то формула преобразуется в следующую:
k - частота накоплений в год.
Данная функция используется в том случае, когда известна текущая стоимость денег и необходимо определить будущую стоимость де нежной единицы при известной ставке доходов на конец определенного периода (n).
Правило 72х
Для примерного определения срока удвоения капитала (в годах) необходимо 72 разделить на целочисленное значение годовой ставки до хода на капитал. Правило действует для ставок от 3 до 18%.
Типичным примером для будущей стоимости денежной единицы может служить задача.
Определить, какая сумма будет накоплена на счете к концу 3го года, если сегодня положить на счет, приносящий 10% годовых, 10 000 рублей.
FV=10000[(1+0,1)3]=13310.
2 функция: Текущая стоимость единицы (текущая стоимость реверсии (перепродажи)), (pvf , i , n).
Текущая стоимость единицы является обратной относительно бу дущей стоимости.
Если начисление процентов осуществляется чаще, чем один раз в год, то
3 функция: Текущая стоимость аннуитета (pvaf , i , n).
Аннуитет - это серия равновеликих платежей (поступлений), отстоящих друг от друга на один и тот же промежуток времени.
Выделяют обычный и авансовый аннуитеты. Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то аннуитет обычный, если в начале - авансовый.
Формула текущей стоимости обычного аннуитета:
PMT - равновеликие периодические платежи. Если частота начислений превышает 1 раз в год, то
Формула текущей стоимости авансового аннуитета:
5 функция: Взнос на амортизацию денежной единицы (iaof, r, n)
Функция является обратной величиной текущей стоимости обычного аннуитета (функция 3). Взнос на амортизацию денежной единицы используется для определения величины аннуитетного платежа в счет погашения кредита, выданного на определенный период при заданной ставке по кредиту.
Амортизация - это процесс, определяемый данной функцией, включает проценты по кредиту и оплату основной суммы долга.
При платежах, осуществляемых чаще, чем 1 раз в год используется следующая формула:
6 функция: Фактор фонда возмещения (sff , i , n)
Данная функция обратна функции накопления единицы за период. Фактор фонда возмещения показывает аннуитетный платеж, который необходимо депонировать под заданный процент в конце каждого периода для того, чтобы через заданное число периодов получить искомую сумму.
Для определения величины платежа используется формула:
При платежах (поступлениях), осуществляемых чаще, чем 1 раз в год:
базовой формулы сложного процента (1 + i)t, характеризующей накопленную сумму единицы. Все пять функций сложного процента - это производные от первой (прямой) функции сложного процента: накопленной функции единицы (будущей стоимости единицы). Каждая из этих функций предполагает, что деньги, положенные на депозит, до тех пор пока находятся на нем, приносят процент. В основу каждого фактора положен эффект сложного процента, при котором полученный процент переводится в основную сумму.
Важным соотношением функций сложного процента является следующее: сумма фактора фонда возмещения (графа 3) и периодического процента (i) равна взносу на амортизацию одного доллара. Это соотношение показывает, что взнос на амортизацию единицы является суммой двух элементов, на что обращалось внимание выше. Один элемент - процент (доход на инвестиции); второй - возмещение капитальных вложений (возврат инвестиционных средств). Рассчитывая платежи по кредиту на основе взноса на амортизацию одного доллара, заемщик выплачивает в течение срока погашения кредита основную сумму кредита плюс процент. Если выплачивается лишь процент, заемщик на отдельном счете аккумулирует основную сумму исходя из значений фактора возмещения. Учитывая, что фонд возмещения приносит процент по той же ставке, что и кредит, по окончании срока кредита остаток фонда возмещения используется для погашения остатка задолженности по основной сумме кредита.
Таким образом, взнос на амортизацию одного доллара (графа 6) всегда превышает периодическую ставку процента вне зависимости от срока кредита.
Аналогично, текущая стоимость обычного аннуитета (графа 5) никогда не превышает фактор, равный частному от деления 1 долл. на периодическую ставку процента.
6 ФУНКЦИЙ ДЕНЕЖНОЙ ЕДИНИЦЫ. ФОРМУЛЫ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
Теория изменения стоимости денег исходит из предположения, что деньги , являясь специфическим товаром, со временем меняют свою стоимость и, как правило, обесцениваются. Изменение стоимости денег происходит под влиянием ряда факторов, важнейшими из которых можно назвать инфляцию и способность денег приносить доход при условии их разумного инвестирования в альтернативные проекты. Основными операциями, позволяющими сопоставить разновременные деньги, являются операции накопления (наращивания) и дисконтирования.
ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Накопление – это процесс приведения текущей стоимости денег к их будущей стоимости, при условии, что вложенная сумма удерживается на счету в течение определенного времени, принося периодически накапливаемый процент.
Дисконтирование – это процесс приведения денежных поступлений от инвестиций к их текущей стоимости.
Аннуитетные платежи (PMT) – это серия равновеликих платежей (поступлений), отстоящих друг от друга на один и тот же промежуток времени. Выделяют Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то аннуитет обычный, если в начале – авансовый.
Текущая стоимость (PV) (англ. Present value) - исходная сумма долга или оценка современной величины денежной суммы, поступление которой ожидается в будущем, в пересчете на более ранний момент времени.
Будущая стоимость (FV) (англ. Future value) - сумма долга с начисленными процентами в конце срока.
Ставка дохода или процентная ставка (i) (англ. Rate of interest) - является относительным показателем эффективности вложений (норма доходности), характеризующим темп прироста стоимости за период.
Срок погашения долга (n ) (англ. Number of periods) - интервал времени, по истечении которого сумму долга и проценты нужно вернуть. Срок измеряется числом расчетных периодов, обычно равных по длине (например, месяц, квартал, год), в конце которых регулярно начисляются проценты.
Частота накоплений в год (k) - периодичность начисления процентов оказывает влияние на величину накопления. Чем чаще начисляются проценты, тем больше накопленная сумма.
ОБОЗНАЧЕНИЯ К ФОРМУЛАМ
FV – будущая стоимость денежной единицы;
PV – текущая стоимость денежной единицы;
PMT – равновеликие периодические платежи;
i – ставка дохода или процентная ставка;
n – число периодов накопления, в годах;
k – частота накоплений в год.
6 ФУНКЦИЙ ДЕНЕЖНОЙ ЕДИНИЦЫ
Формула сложных процентов - 1 функция
Начисление
процентов 1 раз в год:
FV
=
PV
* [(1+
i
)
n
]
или
FV
=
PV
*
Начисление процентов чаще, чем один раз в год: FV = PV * [(1+ i / k ) nk ]
Формула сложных процентов - 2 функция
Текущая стоимость денежной единицы (P V) или текущая стоимость реверсии (перепродажи) показывает, какую сумму нужно иметь сегодня, чтобы через определенный период времени при определенной ставке дисконта (доходности) получить сумму, равную денежной единице, то есть какой сумме сегодня эквивалентна денежная единица, которую мы рассчитываем получить в будущем через определенный период времени.
Начисление процентов 1 раз в год: PV
= FV
* или PV
= FV
*
Начисление процентов чаще, чем один раз в год: PV = FV *
Формула сложных процентов - 3 функция
Текущая стоимость аннуитета показывает, какой сумме денежных средств сегодня эквивалентна серия равномерных платежей в будущем, равных одной денежной единице, за определенное количество периодов при определенной ставке дисконта.
Выделяют обычный и авансовый аннуитеты. Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то аннуитет обычный, если в начале – авансовый.
Обычный аннуитет:
Начисление процентов 1 раз в год:
Начисление
процентов чаще, чем один раз в год:
Авансовый аннуитет:
Формула сложных процентов - 4 функция
Л.О. Григорьева
Управление инвестициями
Учебный модуль
Улан-Удэ
Издательство ВСГТУ
| введение………………………………………………………………….………………………………… | ||
| Тема 1. Понятие и классификация инвестиций………………………………………..……. | ||
| 1.1. | Понятие инвестиций и их классификация……………………………………...……………………. | |
| 1.2. | Инвестиционный процесс и механизм инвестиционного рынка……………………….…………. | |
| 1.3. | Шесть функций сложного процента……………………………………………………………….... | |
| Тема 2. Экономические, правовые и организационные основы инвестиционной деятельности в РФ……………………..……………………….................... | ||
| 2.1 | Нормативная база инвестиционной деятельности в РФ…………………………………………… | |
| 2.2 | Методы государственного регулирования инвестиционной деятельности………………………. | |
| Контрольные вопросы………………………………………………………………………………………. | ||
| Тесты…………………………………………………………………………………………………………. | ||
| Тема 3. Источники финансирования инвестиционной деятельности…………. | ||
| 3.1 | Классификация источников финансирования инвестиционной деятельности предприятия…… | |
| 3.2 | Основные методы финансирования инвестиционной деятельности……………………………… | |
| 3.3 | Анализ цены и структуры капитала…………………………………………………………………. | |
| 3.4 | Методы расчета потребности в инвестициях………………………………………………………. | |
| Контрольные вопросы………………………………………………………………………………………. | ||
| Тесты…………………………………………………………………………………………………………. | ||
| Тема 4. Планирование инвестиций. Этапы составления бизнес-плана……….. | ||
| 4.1 | Сущность и классификация инвестиционных проектов…………………………………………… | |
| 4.2 | Жизненный цикл инвестиционного проекта……………………………………………………….. | |
| 4.3 | Методика составления и структура бизнес-плана инвестиционного проекта……………………. | |
| Контрольные вопросы………………………………………………………………………………………. | ||
| Тесты…………………………………………………………………………………………………………. | ||
| Тема 5. Оценка эффективности инвестиционного проекта…….………………….. | ||
| 5.1 | Основные аспекты оценки эффективности инвестиционных проектов…………………………. | |
| 5.2 | Оценка финансовой состоятельности инвестиционного проекта………………………………… | |
| 5.3 | Оценка экономической эффективности инвестиционных проектов……………………………… | |
| Контрольные вопросы………………………………………………………………………………………. | ||
| Тесты…………………………………………………………………………………………………………. | ||
| Задачи для практических занятий…………………………………………………………………………. | ||
| Тема 6. Риск- менеджмент инвестиционного проекта ………………………………. | ||
| 6.1 | Сущность и классификация рисков инвестиционного проекта………………………………….. | |
| 6.2 | Риск- менеджмент инвестиционного проекта………………………………………………………. | |
| 6.3 | Методы оценки проектного риска…………………………………………………………................ | |
| 6.4 | Приемы по управлению рисками проекта…………………………………………………………… | |
| Контрольные вопросы……………………………………………………………………………………….. | ||
| Тесты………………………………………………………………………………………………………….. | ||
| Тема 7. Оценка инвестиционных качеств и эффективности финансовых инвестиций ……………………………………………………………………………………………… | ||
| 7.1. | Расчет доходности по операциям с ценными бумагами……………………………………………. | |
| 7.2 | Расчет будущего капитала в финансовых инвестициях……………………………………………. | |
| 7.3 | Расчет курсовой стоимости ценных бумаг…………………………………………………………... | |
| 7.4 | Особенности оценки инвестиций в вексельном обращении………………………………………. | |
| Контрольные вопросы………………………………………………………………………………………. | ||
| Тесты…………………………………………………………………………………………………………. | ||
| Задачи для практических занятий………………………………………………………………………….. | ||
| Тема 8. Формирование инвестиционного портфеля…………………………………… | ||
| 8.1 | Понятие и виды инвестиционных портфелей……………………………………………………… | |
| 8.2 | Доходность портфеля………………………………………………………………………………… | |
| 8.3 | Риск портфеля………………………………………………………………………………………… | |
| Контрольные вопросы………………………………………………………………………………………. | ||
| Тесты…………………………………………………………………………………………………………. | ||
| Задачи для практических занятий…………………………………………………………………………… | ||
| ПриложениЕ1………………………………………………………………………………………………. | ||
| ПриложениЕ2………………………………………………………………………………………………. | ||
| Приложение 3……………………………………………………………………………………………… |
Тема 1. Инвестиции. Сущность инвестиционного процесса
Шесть функций сложного процента
Первая функция сложного процента – это фактор будущей стоимости текущего (сегодняшнего) капитала.
| FV = PV*(1+i) n | (1.4) |
FV – это будущая стоимость текущего капитала (future value);
PV – текущая стоимость капитала (present value);
i – ставка процента;
n – количество периодов.
В каких случаях используется формула сложного процента:
Мы имеем какую-то сумму денег. Мы хотим положить ее в банк под определенный процент, на определенный срок (год, месяц, квартал). При этом мы хотим знать: сколько будут стоить наши деньги в конце срока вклада.
Пример. Допустим у нас есть 1 руб. и мы кладем его в начале года в банк, под 10% годовых на 5 лет. Сколько будет стоить этот руб. через 5 лет?
FV = 1 руб.*(1+10%) 5 = 1,61 руб.
Пример . Вы положили деньги в банк 1000 руб. под 24% годовых на 1 год. Аккумулирование (т.е. начисление %) происходит два раза в год по фиксированной годовой ставке. Надо определить периодическую ставку (i p), будущую стоимость текущего капитала (FV), величину дохода на капитал (Д) и фактическую годовую ставку (i ф).
Определим периодическую ставку, в данном случае – полугодовую: i p = i г /2 = 24% /2 =12%
Определим будущую стоимость текущего капитала: FV =1000(1+0,12) 2 = 1254,4 руб.
Определим величину дохода на капитал: Д = FV – PV = 1254,4 – 1000 = 254,4 руб.
Определим фактическую годовую ставку: i ф = (FV–PV)/PV=(1254,4–1000)/1000=0,2544=25%
Фактическая ставка включает начисленные сложные проценты, поэтому она всегда больше, чем номинальная ставка. Кроме того, чем больше периодов начисления процентов в году, тем эта разница будет существеннее.
Пример . Через сколько лет произойдет удвоение капитала, если известно, что годовая номинальная ставка, под которую положили деньги в банк равна 12%?
Решение этой задачки основано на использовании так называемого «правила 72-х». Согласно этому правилу, количество лет, через которое произойдет удвоение вложенной суммы, определяется по формуле: 72 / номинальная годовая ставка %
72 / 12% = 6 лет.
Правило дает удовлетворительный ответ при ставке, находящейся в диапазоне от 3 до 18%.
Вторая функция сложного процента – фактор будущей стоимости аннуитета.
Она предназначена для определения будущей стоимости равновеликих накоплений капитала за определенное число периодов, т.е. когда мы, например, будем вкладывать одну и ту же суму денег (РМТ) в течение какого-то времени(1,2,3 года и т.п.).
РМТ (payment ) – единовременный платеж в периоде k. (периоды одинаковые).
Серия таких платежей называется аннуитетом .
Различают обычный и авансовый аннуитет .
Будущая стоимость обычного аннуитета (платежи в конце каждого периода). Его будущая стоимость выражается в формуле:
Пример . Чтобы накопить себе на автомобиль, вы решили откладывать в банк по 1000 $ каждый год при 12% годовых в течение 5 лет. Как лучше откладывать деньги (в конце или в начале года), чтобы получить через 5 лет большую сумму и сколько денег окажется на вашем счете через 5 лет?
Определим, сначала, сколько денег мы получим через 5 лет, если будем откладывать в конце каждого года:
Таким образом, получается, что вкладывать в начале каждого года гораздо выгоднее, чем в конце.
Третья функция сложного процента – фактор фонда возмещения.
Фактор фонда возмещения – это величина платежа, который необходимо депонировать (вкладывать) в каждом периоде при заданной ставке годового процента, чтобы в последнем периоде получить на счете определенную (желаемую) сумму. Т.е. допустим, мы хотим получить 1 миллион рублей через пять лет. Для этого можно положить деньги в банк. Нам известна величина банковского процента. Фактор фонда возмещения (ФФВ) определяет величину периодических равновеликих платежей, которые нам придется платить эти 5 лет. То есть ФФВ - это то же РМТ.
Различают Фактор Фонда Обычного Возмещения и Фактор Фонда Авансового Возмещения, в зависимости от того, когда (в конце или начале периода) производятся платежи.
Фактор Фонда Обычного Возмещения (платежи в конце каждого периода):
2-я и 3-я функции сложного процента взаимосвязаны между собой через формулы. 2-я функция – это определение FV, а 3-я – это определение PV.
Пример . Вы взяли у своего знакомого в долг и через 5 лет должны вернуть 1000$. Чтобы проще было расплатиться с долгами, вы решили откладывать деньги в банк каждый год. Банковская ставка также равна 15% годовых. Как выгоднее депонировать деньги – в начале года или в конце года? Какую сумму вы должны депонировать в банке, чтобы в конце 5-го года выплатить эту 1000$?
1. Фактор Фонда Обычного Возмещения:
| ФФОВ = | _____15%___ | *1000$ | = 148 $ |
| (1+15%) 5 - 1 |
- Фактор Фонда Авансового Возмещения:
2. Фактор Фонда Авансового Возмещения:
| ФФАВ = | ________1,25%__________ | *10000$ | = 111,5 $ |
| (1+1,25%) 5*12+1 – (1+1,25%) |
Каждый месяц вам выгоднее откладывать по 111,5 $.
Четвертая функция сложного процента – фактор текущей стоимости будущего капитала.
Текущая стоимость будущего капитала – это сегодняшняя стоимость капитала, который должен быть получен в будущем. Математически выразить текущую стоимость будущего капитала можно следующим образом:
PV = FV /(1+i) n (1.9)
Как вы заметили 4-я и 1-я функция сложного процента взаимосвязаны между собой одной формулой. 1-я функция определяет будущую стоимость текущего капитала.
Пример. Вы решили накопить 12000$. Эта сумма понадобится вам через 4 года. Сколько денег сегодня вы должны положить в банк под 10% годовых, чтобы через 4 года получить 12000$.
PV = 12000$ /(1+10%) 4 = 8196 $
Пятая функция сложного процента – фактор текущей стоимости аннуитета.
5-я функция предназначена для определения текущей стоимости (PV) равновеликих накоплений капитала за определенное число периодов, т.е. когда мы, например, будем вкладывать одну и ту же сумму денег (РМТ) в течение какого-то времени (1,2,3 года и т.д.) при известной норме прибыли (i ).
В этом смысле, 5-я функция несколько похожа на 2-ю функцию сложного процента, с той лишь разницей, что 2-я определяет FV.
Различают фактор текущей стоимости Обычного аннуитета (платежи в конце каждого периода) и Авансового Аннуитета (платежи в начале каждого периода).
Текущая стоимость обычного аннуитета:
2. Если платежи будут производится в начале каждого года:
Авансовый взнос на амортизацию (платежи в начале периода):
2. Если платежи в начале года:
| РМТн = | 15000$*12%_____ | = 3715$ |
| (1+12%) – (1+12%) – (5 – 1) |
Контрольные вопросы
1. Охарактеризуйте понятие инвестиций, приведите варианты их классификации.
2. В чем заключаются основные отличия между инвестициями и капитальными вложениями?
3. Что представляет собой инвестиционная деятельность, и из каких этапов она состоит?
4. Какие субъекты инвестиционной деятельности можно выделить? Их отличия и основные характеристики?
5. Объекты инвестиционной деятельности, их отличия и основные характеристики.
6. Реципиент, как субъект инвестиционной деятельности?
7. Какова структура инвестиционного рынка?
8. Какова структура инвестиционного рынка в России? Перечислить и охарактеризовать его составляющие.
1.1. Какие из приведенных ниже вложений в большинстве случаев не относятся к инвестициям?
а) приобретение иностранной валюты;
б) вложения в облигации на вторичном рынке;
в) вложения в депозитные сертификаты;
г) лизинговое финансирование;
д) вложения в акции на первичном рынке.
1.2. Основными целями инвестирования являются:
а) получение прибыли;
б) достижение социального эффекта;
в) накопление капитала
1.1. Прямые инвестиции предполагают:
а) привлечение финансовых посредников к реализации инвестиционных проектов;
б) использование внутренних источников финансирования инвестиций;
в) непосредственное участие инвестора в выборе объектов инвестирования и вложения капитала.
1.2. Какой из перечисленных ниже субъектов экономики не является участником (исполнителем) инвестиционной деятельности?
а) инвестор;
б) исполнитель;
в) проектировщик;
г) подрядчик;
д) страховое общество.
1.3. В какой сфере протекает инвестиционная деятельность?
б) обращения;
в) материального производства;
г) нематериального производства.
1.4. Инвестиционная деятельность коммерческих банков в сфере реального инвестирования имеет следующие формы:
а) инвестиционное кредитование;
б) инвестирование в ценные бумаги;
в) проектное финансирование;
г) долевое участие.
1.7. Какие из приведенных ниже элементов относятся к материальным элементам инвестиций?
а) коммуникации;
б) природные ресурсы;
в) вложения в человеческий капитал;
г) ценные бумаги;
д) патенты, лицензии.
1.8. Что лежит в основе деления инвестиций на реальные, финансовые и инвестиции в нематериальные активы?
а) объекты вложения инвестиций;
б) воспроизводственные формы;
в) стадии инвестиционного процесса;
г)субъекты инвестиционной деятельности.
1.9. Концепцию инвестиционного мультипликатора разработал:
а) Р.Ф. Кан;
б) Самуэльсон;
в) Дж. М. Кейнс.
1.10. Инвестиции в нематериальные активы - это:
а) вложения в торговые марки, товарные знаки, авторские права и т.д.;
б) затраты на приобретение объектов природопользования;
в) вложения в оборотные средства предприятия.
Задачи для практических занятий
Задача 1.1.
Рассчитайте ежегодный взнос для оплаты квартиры стоимостью 800 тыс. руб., купленной в рассрочку на 10 лет под 12%.
Задача 1.2.
Рассчитайте ежегодный взнос под 12% для покупки через 10 лет квартиры стоимостью 800 тыс. руб.
Задача 1.3.
Рассчитайте взнос под 12% для покупки через 10 лет квартиры стоимостью 800 тыс. руб.
Задача 1.4.
Квартира продана за 800 тыс. руб., деньги приносят 12% годового дохода. Какова предельная стоимость недвижимости, которую можно будет купить через 10 лет?
Задача 1.5.
Какова предельная стоимость недвижимости, которую можно будет купить через 10 лет, если ежегодно откладывать по 80 тыс. руб. под 12%?
Задача 1.6.
Сколько стоила квартира, купленная в рассрочку на 10 лет под 12% годовых, если ежегодный взнос составляет 80 тыс. руб.?
Шесть функций сложного процента могут быть использованы при проведении оценки объектов недвижимости. Накопленная сумма единицы позволяет ответить на вопрос: "За сколько можно продать собственность исходя из ее нынешней рыночной стоимости и ожидаемого роста последней по сложному проценту?" Накопление единицы за период показывает, как будут расти регулярные депозиты при сложном проценте. Фактор фонда возмещения показывает, какую сумму необходимо периодически депонировать для того, чтобы через определенное число периодов при сложном проценте накопить 1 долл. Он показывает, какой должна быть ежегодная норма, необходимая для возмещения инвестиций в данный актив.
Текущая стоимость единицы показывает нынешнюю стоимость денежной суммы, которая должна быть единовременно получена в будущем, например от ожидаемой продажи земли. Фактор аннуитета показывает стоимость потока денежных средств, например доходов, получаемых от сдаваемой в аренду собственности, или платежей по ипотечному кредиту. Фактор взноса на амортизацию единицы позволяет определить размер периодического платежа, необходимого для амортизации кредита, включая процент и выплаты основной суммы долга.
В основу каждой из шести функций положен сложный процент, который означает, что вся основная сумма, находящаяся на депозитном счете, должна приносить процент, включая процент, оставшийся на счете с предыдущих периодов. Более того, процент выплачивается только на денежные средства на депозитном счете, но не на снятые с него проценты или основную сумму вклада.
Шесть функций сложного процента могут быть использованы для решения почти всех арифметических задач, связанных с оценкой приносящих доход объектов недвижимости.
Деньги имеют временную стоимость, т.е. рубль, полученный сегодня, стоит дороже, чем рубль, полученный завтра. И не только потому, что инфляция способна снизить его покупательную способность, но и потому, что рубль, инвестированный сегодня, завтра принесет конкретную прибыль. Временная стоимость денег - важный аспект при принятии решений в финансовой практике вообще и при оценке инвестиций в частности.
Вычисление на основе сложного (кумулятивного) процента означает, что начисленные на первоначальную сумму проценты к ней присоединяются, а начисление процентов в последующих периодах производится на уже наращенную сумму. Процесс наращения капитала в этом случае происходит с ускорением. Он описывается геометрической прогрессией. Механизм наращения первоначальной суммы (капитала) по сложным процентам называют капитализацией. В финансовых и экономических терминах капитализация определяется как ставка дохода на вложенный капитал. При оценке-недвижимости и инвестиций данный термин приобретает несколько иное значение.
Различают годовую капитализацию (процентный платеж начисляется и присоединяется к ранее наращенной сумме в конце года), полугодовую, квартальную, месячную и ежедневную. Существует также понятие непрерывного начисления процентов, которое по своему смыслу весьма близко к ежедневному начислению.
Расчет наращенной суммы по сложным процентам производится по формуле:
денежный платеж рента задолженность
где S - наращенная сумма;
Р - первоначальная сумма, на которую начисляются проценты;
i - ставка сложных процентов, выраженная десятичной дробью;
п - число лет, в течение которых начисляются проценты.
Величина называется множителем наращения сложных процентов. Она показывает, на сколько увеличится одна денежная единица при наращении на нее процентов по ставке i в течение п лет.
Однако в большинстве случаев указывается не квартальная или месячная ставка, а годовая ставка, которая называется номинальной. Кроме того, указывается число периодов (т) начисления процентов в году. Тогда для расчета наращенной суммы используется формула:
где i - номинальная годовая процентная ставка;
т - число периодов начисления процентов в году;
п - число лет;
тп - число периодов начисления процентов за весь срок контракта.
По формулам (3.1) и (3.2) мы осуществляли дискретное наращение процентов, т.е. проценты начислялись раз в год, квартал или месяц. Непрерывное начисление процентов предполагает, что проценты начисляются за возможно наиболее короткий период времени. Хотя имеется в виду, что этот период будет бесконечно коротким, наиболее точным приближением непрерывного начисления процентов является ежедневное начисление. При этом для определения наращенной суммы можно использовать формулу (3.2). Так, при годовой ставке 10% и продолжительности года в 360 дней (подобная продолжительность года принята в банковских расчетах в ряде стран) при ежедневном начислении процентов.
Термин «дисконтирование» употребляется в финансовой практике очень широко. Под ним может пониматься способ нахождения величины Р на некоторый момент времени при условии, что в будущем при начислении на нее процентов она могла бы составить наращенную сумму S. Величину Р, найденную дисконтированием наращенной величины S, называют современной, текущей или приведенной величиной. С помощью дисконтирования в финансовых вычислениях учитывается фактор времени. Текущая стоимость - это величина, обратная наращенной стоимости, т.е. дисконтирование и ставка дисконта противоположны понятиям «накопление» и «ставка процента». Например, если вы через год должны получить по своему банковскому вкладу 1100 руб., а банк производил начисление из расчета 10% годовых, то текущая стоимость вашего вклада составляет 1 тыс. руб.
Так как текущая стоимость является обратной величиной наращенной суммы, то она определяется по формуле:
где - дисконтный множитель. Он показывает текущую стоимость одной денежной единицы, которая должна быть получена в будущем.
При начислении процентов т раз в году расчет текущей стоимости производится по формуле:
где - дисконтный множитель.
Рассматривая современную величину, необходимо обратить внимание на два ее свойства. Одно из них заключается в том, что величина процентной ставки, по которой производится дисконтирование, и современная величина находятся в обратной зависимости, т.е. чем выше процентная ставка, тем меньше современная величина при прочих равных условиях.
Также в обратной зависимости находятся современная величина и срок платежа. С увеличением срока платежа (п) современная величина будет становиться все меньше. Предел значений современной величины (Р) при сроке платежа (п), стремящемся к бесконечности, составит:
При очень больших сроках платежа его современная величина будет крайне незначительной. Так, например, если кто-то решит завещать своим потомкам получить через 100 лет сумму в 50 млн. руб., то для этого ему достаточно положить под 8% годовых 22,72 тыс. руб.
С ростом величины т (число периодов начисления процентов) дисконтный множитель уменьшается, а следовательно, снижается и текущая величина Р.
Между тем оплата по заключенным сделкам может предусматривать как разовый платеж, так и ряд выплат, распределенных во времени. Выплата арендной платы, выплаты за приобретенное имущество в рассрочку, инвестирование средств в различные программы и т.п. в большинстве случае предусматривают платежи, производимые через определенные промежутки времени, т.е. образуется поток платежей.
Ряд последовательных фиксированных платежей, производимых через равные промежутки времени, называются финансовой рентой, или аннуитетом.
По моменту выплат членов ренты последние подразделяются на обычные (постнумерандо), в которых платежи производятся в конце соответствующих периодов (года, полугодия и т.д.), и пренумерандо, в которых платежи осуществляются в начале этих периодов. Встречаются также ренты, в которых предусматривается поступление платежей в середине периода.
Обобщающими показателями ренты являются: наращенная сумма и современная (текущая, приведенная) величина.
Наращенная сумма - это сумма всех членов потока платежей с начисленными на них процентами на конец срока, т.е. на дату последней выплаты. Наращенная сумма показывает, какую величину будет представлять капитал, вносимый через равные промежутки времени в течение всего срока ренты вместе с начисленными процентами.
Современная величина потока платежей - это сумма всех его членов, уменьшенная (дисконтированная) на величину процентной ставки на определенный момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему.
Величина является коэффициентом наращения ренты, который называют также коэффициентом накопления денежной единицы за период.
Ранее указывалось, что некоторые ренты реализуются сразу же после заключения контракта, т.е. первый платеж производится немедленно, а последующие платежи производятся через равные интервалы. Такие ренты (пренумерандо) также называются авансовыми, или причитающимися аннуитетами. Сумма членов такой ренты вычисляется по формуле:
То есть сумма членов ренты пренумерандо больше наращенной суммы ренты постнумерандо в раз, поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо равна:
где S - наращенная сумма постнумерандо.
В случаях когда платежи производятся в середине периодов, вычисление наращенной суммы производится по формуле:
где S 0 - наращенная сумма платежей, выплачиваемых в конце каждого периода (рента постнумерандо).
Современная величина ренты (ее также называют текущей, или приведенной величиной) является суммой всех членов ренты, дисконтированных на момент приведения по выбранной дисконтной ставке. Для ренты с членами, равными R, современная величина рассчитывается по формуле:
где А - коэффициент приведения ренты, показывающий сколько рентных платежей (R) содержится в современной величине;
i - годовая процентная ставка, по которой производится дисконтирование;
п - срок рентных платежей.
Данный показатель также называется текущей стоимостью обычного аннуитета, или текущей стоимостью будущих платежей. Коэффициенты приведения ренты - табулированы.
Расходы, связанные с погашением долга, т.е. погашение суммы самого долга (амортизация долга), и выплатой процентов по нему, называются расходами по обслуживанию долга.
Существуют различные способы погашения задолженности. Участники сделки оговаривают их при заключении контракта. В соответствии с условиями контракта составляется план погашения задолженности.
Одним из важнейших элементов плана является определение числа выплат в течение года, т.е. уточнение числа так называемых срочных уплат и их величины.
Срочные уплаты рассматриваются как средства, предназначенные для погашения как основного долга, так и текущих процентных платежей по нему. При этом средства, направленные на погашение (амортизацию) основного долга, могут быть равными или изменяющимися по каким-либо закономерностям, а проценты могут выплачиваться отдельно.
Погашение долга может производиться аннуитетами, т.е. платежами, вносимыми через равные промежутки времени и содержащими как выплату основного долга, так и процентный платеж по нему. Величина аннуитета может быть постоянной, а может изменяться в арифметической или геометрической прогрессии.
Ниже рассмотрим случай, когда план составлен таким образом, чтобы погашение кредита производилось в конце каждого расчетного периода равными срочными уплатами, включающими выплату основной суммы долга и процентов по нему и позволяющими полностью погасить кредит в течение установленного срока. Каждая срочная уплата (Y) будет являться суммой двух величин: годового расхода по погашению основного долга (R) и процентного платежа по нему (I), т.е.
Расчет срочной годовой уплаты производится по формуле:
где i - процентная ставка;
п - срок кредита;
D - величина долга.
Величина называется коэффициентом погашения задолженности, или взносом на амортизацию денежной единицы. Его можно также представить как обратную величину текущей стоимости аннуитета, т.е. .
На практике может потребоваться знание величины остатка невыплаченного основного долга на какой-либо период. Эта величина рассчитывается по формуле:
где k - номер расчетного периода, в котором произведена последняя срочная уплата.
Покупка недвижимости в большинстве случаев сопряжена с получением кредита. В связи с этим необходимо заранее знать, какую сумму потребуется депонировать в каждый платежный период, чтобы обеспечить погашение основной суммы долга (без учета процентных выплат) в установленный срок.
Для решения этой задачи воспользуемся формулой:
где R 1 - расход по погашению основного долга в первом платежном периоде;
D - сумма основного долга;
п - срок кредита;
i - процентная ставка.
Величина называется фактором фонда возмещения. Она показывает, какую сумму потребуется депонировать в конце каждого платежного периода, чтобы через заданное число периодов сумма основного кредита была полностью погашена.
Для расчета суммы, идущей на погашение основного долга в любом периоде, необходимо перемножить фактор фонда возмещения и множитель наращения сложных процентов для данного периода, т.е.
где k - число периодов, за которые произведено погашение основного долга.
Нами были рассмотрены функции сложного процента с использованием основной формулы, описывающей накопленную сумму единицы. Все рассмотренные формулы (факторы) являются производными от основной формулы. Каждая из них предусматривает, что проценты приносят деньги, находящиеся на депозитном счете, причем только до тех пор, пока они остаются на этом счете. Каждая из формул учитывает эффект сложного процента, т.е. такого процента, который, будучи полученным, переводится в основную сумму.
Все перечисленные формулы сведены в таблицу, что несколько облегчает ведение финансовых расчетов. Таблица имеет наименование: «Таблицы сложных процентов. 6 функций сложного процента». Величины, входящие в таблицу, находятся между собой в определенной связи. Ниже в табл. приводится эта связь.
Суть оценки стоимости - приносящего прибыль предприятия состоит в том, что определяется текущая стоимость прибыли, которая будет получена в прогнозируемом периоде. Сум, полученный завтра, стоит меньше, чем сум, полученный сегодня. Это обусловлено тем, что, во-первых, деньги со временем приносят доход; а во-вторых, - инфляционные процессы обесценивают сум. Для определения текущей стоимости завтрашнего сума необходимо провести соответствующие расчеты.
Ниже рассматриваются шесть функций денег, связанные с использованием сложных процентов, о которых эксперт-оценщик должен знать и постоянно использовать в практике оценки.
Вкратце охарактеризуем основные понятия, встречающиеся в данной главе.
Денежные суммы. При оценке стоимости предприятия, приносящего чистый доход, важно определить денежные суммы, которые будут инвестированы в него и получены от этих инвестиций в процессе функционирования предприятия. Определение размеров этих денежных сумм позволяет сделать заключение в том, обеспечат ли данные инвестиции положительнук) ставку дохода, при которой поступление денежных средств превысит их отток на покрытие будущих затрат.
Время. Самое дорогое в этом мире - это время - его нельзя вернуть. Вложенный в дело капитал со временем приносит процент, который, в свою очередь, используется для получения еще большего процента. Время измеряется периодами или интервалами, которые составляют день, месяц, квартал, год и т.д.
Риск. Под инвестиционным риском понимается неопределенность в получении чистых доходов от вложенных инвестиций.
Ставка дохода. Ставка чистого дохода от инвестиций - это процентное отношение чистого дохода к вложенному капиталу. Ставка дохода предполагает оценку сумм ожидаемого чистого дохода и времени их получения. Ставка дохода на инвестиции часто называется ставкой конечной отдачи. Из различных вариантов инвестиционных проектов выбирается тот, по которому ставка дохода наиболее высока (если эксперты руководствуются экономическими критериями). Если ставки дохода двух проектов одинаковы, выбирается проект с меньшим риском. Для выбора варианта инвестирования производится сопоставление ставок дохода и рисков, соответствующих этим вариантам. Лишь после анализа этих сопоставлений можно сделать вывод о выборе варианта инвестирования.
Чистый доход. Чистый доход определяется как сумма чистой прибыли, полученной после уплаты налогов и других обязательных платежей и амортизационных отчислений.
Аннуитет (обычный) - серия равновеликих платежей, первый из которых осуществляется через один период, начиная с настоящего момента, то есть платеж производится в конце рассматриваемых периодов.
Сложный процент. Сложный (кумулятивный) процент означает, что полученный процент, положенный на депозит вместе с первоначальными инвестициями, становится частью основной суммы. Вследующий период времени он наряду с первоначальным депозитом уже сам приносит процент. Простой процент не предполагает получения дохода с процента. Специальные таблицы шести функций денежной единицы (приложение 1) помогают экспертам-оценщикам вести расчеты с использованием сложных процентов. Таблицы состоят из шести колонок, в которых помещены значения, полученные исходя из шести функций денежной единицы.
Первая функция - накопление суммы денежной единицы. Вторая функция - накопление денежной единицы за период. Третья функция - фактор фонда возмещения. Четвертая функция - текущая стоимость денежной единицы Пятая функция - текущая стоимость аннуитета. Шестая функция - внос на амортизацию денежной единицы. Далее рассматриваются порядок расчетов и использование шести функций денежной единицы.
5.1. Первая функция сложного процента
(будущая стоимость денежной единицы - колонка 1)
При расчете ставки дохода на инвестиции, как основного критерия при выборе инвестиционного проекта, используется эффект сложного процента, то есть расчета и учета на вложенный процент.
Денежные средства в примерах, приведенных в настоящем учебном пособии, измеряются в основном в долларах. Это позволяет не учитывать инфляционные процессы в экономике и упростить проводимые расчеты.
Предполагается, что 100 долларов депонированы на специальном счете и приносят ежегодный доход, который накапливается. В первый год 100 долл.принесут 10 долл.в виде процента (10% от 100 долл.= 10 долл.). В конце года остаток на специальном счете составит (ПО долл. ЦОО долл. + 10 долл. =110долл.). Если далее вся сумма в 110 долл. будет в течении второго года находится на депозите, то к концу второго года процент на нее составит уже 11 долл. (10% от НО долл. = 11долл.). Если весь остаток будет оставаться на депозите, то к концу пятого года остаток составит уже 161,05 долл. При простом проценте в 10% ежегодный доход составит 10 долл. Через пять лет, накопленная сумма составит 150 долл. (100 долл. + 5- 10 долл.= 150 долл.). Разница от разных форм депозита составила 11,05 долл.
В связи с тем, что функции сложного процента часто используются в расчетах денежных потоков и в оценке стоимости предприятий, необходимо познакомиться со специальными таблицами шести функций денежной единицы, содержащими предварительно рассчитанные элементы (отдельные множители) сложного процента. Расчет сложного процента в специальной таблице осуществляется по следующей формуле:
Где: S t - депозитная сумма после периодов, если вложен 1 долл.;
1 - один доллар; i - периодическая ставка процента; t - число периодов.
Если инвестор знает из таблицы, сколько будет стоить один доллар через 10 лет при ежегодном накоплении в 10%, то он будет знать, сколько к концу 10 лет будет стоить и инвестированная им сумма, например в 5000 долл.Для этого стоимость 1 долл. к концу 10-летнего периода, взятая в специальной таблице сложного процента (колонка 1), умножается на 5000 долл.(2,594- 5000 = 12 970 долл.).
Накопление денежных средств может происходить более часто, чем год: ежедневно, ежемесячно, ежеквартально или каждое полугодие. При более частом накоплении денежных средств эффективная ставка процента снижается. Расчет производится по основной формуле с определенной ее корректировкой, число лет (i ), на протяжении которых происходит накопление, умножается на частоту накопления в течении года (если накопление осуществляется раз в квартал, то на 4, если раз в месяц, то на 12), а номинальная годовая ставка процента делится на частоту накопления»
5.2. Вторая функция сложного процента
(текущая стоимость денежной единицы - колонка 4)
Текущая стоимость денежной единицы (стоимость реверсии, V) - это величина, обратная накопленной сумме единицы:
Текущая стоимость денежной единицы - это текущая стоимость одного доллара, которая будет получена в будущем.
Коэффициент текущей стоимости денежной единицы используется для оценки текущей стоимости известного (или прогнозируемого) единовременного поступления денежных средств с учетом заданного процента (с учетом ставки дисконта).
Завтрашняя денежная единица стоит меньше, чем она стоит сегодня, а на сколько - зависит, во-первых, от разрыва во времени между оттоком и поступлением денежных средств, во-вторых, - от величины необходимой ставки процента (ставки дисконта).
Если ставка дисконта равна 10%, то 100 долл., которые мы получим через год, имеют текущую стоимость в 90,91 долларов. Для проверки проведём обратную процедуру. Если инвестор сегодня располагает суммой в 90,91 долл. и может получить в течении года 10%, то доход, полученный за счет процентов, составит 9,09 долл. В этом случае через год остаток увеличится до 100 долл.(90,91+9,09=100)
Связь проведенных расчетов с оценкой стоимости предприятий заключается в следующем. Допустим, инвестору необходимо определить, сколько нужно заплатить сегодня за оцениваемое предприятие, чтобы получить от него доход в 10% годовых, а через два года его продать, например, за 10 млн. долл. Если инвестор собирается получить 10% на вложенный капитал, то сумма, которую он может предложить за предприятие сегодня, - 8,264 млн.долл.
Частое использование в практических расчетах коэффициента текущей стоимости единицы обусловило разработку специальных таблиц, с помощью которых можно быстро найти нужный коэффициент текущей стоимости единицы (колонка-4)
В случае более частого дисконтирования, чем один год, номинальная (годовая ставка) дисконта делится на частоту интервалов, а число периодов в году умножается на число лет. Число периодов в году принимается равным либо 4, либо 12, если интервалом является соответственно квартал или месяц.
5.3. Третья функция сложного процента
(текущая стоимость денежно единичного аннуитета - колонка 5)
Данная функция денег раскрывает текущую стоимость обычного аннуитета, то есть текущей стоимости серии равновеликих платежей.
Эта ситуация может возникнуть, если собственник сдает активы предприятия в аренду и хочет получать ежегодную арендную плату в 100 тыс. долл. в течении следующих 4 лет. При 10%-ной ставке дисконта текущая стоимость первого арендного платежа в 100 тыс. долл. через год равна 90,91 тыс. долл. (100 тыс. долл.- 0,9091=90,91 тыс. долл.), второго арендного платежа - 82,64 тыс. долл.(100 тыс. долл.- 0,8264=82,64 тыс.долл.), третьего арендного платежа - 75,13 тыс.долл., четвертого - 63,30 тыс. долл. Таким образом, текущая стоимость арендных платежей в 100 тыс. долл. в течение последующих 4 лет при 10%-ной ставке дисконта составляет 316,98 тыс. долл. Последняя сумма - справедливый текущий эквивалент ежегодных поступлений в 100 тыс. долл. в течение последующих 4 лет от аренды предприятия.
Для практического использования обычного аннуитета разработаны специальные таблицы. Феномен обычного аннуитета называется также фактором Инвуда по имени американского ученого Вильяма Инвуда (1771-1843), открывшего этот феномен.
Фактор Инвуда (а) рассчитывается по следующей формуле:
Текущая стоимость аннуитета (a i) может быть рассчитана как сумма текущих стоимостей 1 долл. за определенный период времени:
Для построения таблицы обычного аннуитета необходимо сложить данные текущей стоимости единицы за соответствующее число лет.
Если периодические платежи поступают чаще, чем один раз в год, номинальную (годовую) ставку процента необходимо разделить на число периодов в году. Общее число периодов равно числу лет, умноженному на число периодов в году.
Если собственник договаривается с арендатором о том, что он (арендатор) будет осуществлять равномерные авансовые платежи по следующей схеме: первый платеж немедленно после подписания контракта, а последующие, равные платежи через определенный период, то такие платежи называются авансовым аннуитетом.
При авансовом аннуитете первый платеж не дисконтируется, поскольку он вносится сразу, последующие поступления же дисконтируются: второй платеж дисконтируется с использованием фактора текущей стоимости единицы для первого интервала, который можно взять из специальных таблиц сложного процента (колонка-5). Для превращения обычного аннуитета в авансовый необходимо к фактору обычного аннуитета, укороченного на один период, добавить единицу. При добавлении единицы учитывается первое поступление, которое осуществляется сразу после подписания контракта. Таким образом, при сокращении денежного потока на один период во внимание принимается текущая стоимость остальных платежей.
Пример. Арендная плата за пользование имуществом предприятия составляет 100 тыс. долл. и выплачивается по контракту в течении 4 лет в начале каждого года. Текущая стоимость авансового ануитета при ставке дисконта в 10% составляет 348,68тыс.долл,и распределяется следующим образом: текущая стоимость первого платежа - 100 тыс. долл., второго - 90,91 тыс. долл., третьего - 82,64 тыс.долл., четвёртого - 75,13 тыс.долл.
Доход от владением предприятием может быть получен: 1) в виде денежного потока от арендных платежей за арендованное имущество предприятия или от прибыли; 2) в виде единовременной выручки от продажи активов предприятия. Для оценки этих видов доходов используется два различных фактора сложного процента: для денежного потока используется фактор текущей стоимости аннуитета; для единовременного дохода от продажи - фактор текущей стоимости единицы.
Пример. На протяжении 25 лет в конце каждого года предприятие приносит владельцу прибыль, равную 65 тыс. долл. Владелец решил продать предприятие за 500 тыс. долл. Ставка дисконта составляет 12%. Для оценки доходов от прибыли предприятия fro специальной таблице сложного процента (колонка-5) определяем текущую стоимость аннуитета. Она составляет при ставке дисконта 12% и продолжительности 25 лет - 7,8431, Умножая ежегодную прибыль в 65 тыс. долл. на текущую стоимость аннуитета 7,8431, определим текущую стоимость потока прибыли за 25 лет функционирования предприятия. Она составит 509804 долл.
Для оценки текущей стоимости от продажи предприятия через 25 лет используем фактор текущей стоимости единицы (колонка-4). Он равен 0,0588. Умножая полученный доход от продажи предприятия (500 тыс. долл.) на фактор текущей стоимости единицы (0,0588), получим текущую стоимость дохода от продажи предприятия (29,411 тыс. долл.). Тогда общая текущая стоимость активов предприятия оценивается в 539,215 тыс.долл. Вданном примере использованы два фактора сложного процента: текущая стоимость единицы и текущая стоимость обычного аннуитета.
Возможна ситуация, когда доход от продажи предприятия может быть большим или меньшим, чем 500 тыс. долл., то есть, имеет место неопределенность. Эту неопределенность можно учесть, используя для оценки дохода от продажи ставку дисконта не 12%, как для доходов от прибыли, а, например, 15%. В этом случае оценочная текущая стоимость активов предприятия составит:
65 тыс. долл. х 7,8431 = 509 802 долл.
500 тыс. долл. х 0,0304 = 15 200 долл.
525 002 долл.
5.4. Четвёртая функция сложного процента
(взнос на амортизацию денежной единицы - колонка-6)
Внос на амортизацию денежной единицы - это регулярный периодический платеж в погашение кредита, приносящего процентный доход. Это величина, обратная текущей стоимости аннуитета.
Амортизация в данном случае - это погашение (возмещение, ликвидация) долга в течение определенного времени. Взнос на амортизацию кредита математически определяется как отношение одного платежа к первоначальной основной сумме кредита. Взнос на амортизацию единицы равен обязательному периодическому платежу по кредиту, включающему процент и выплату части основной суммы. Это позволяет погасить кредит и проценты по нему в течение установленного срока.
Как показано выше, 1 долл., ожидаемый к получению в конце каждого года на протяжении 4 лет, имеет при 10% годовой ставке текущую стоимость 3,1698. Первый доллар будет стоить 0,90909 долл., второй - 0,8264 долл., третий - 0,7513 долл., четвертый - 0,6830 долл. Сумма за четыре года составит 3,1698 долл.(0,90909 + 0,8264 + 0,7513 + +0,6830 » 3,1698).Это текущая стоимость аннуитета.
Величина износа на амортизацию единицы равна обратной величине текущей стоимости аннуитета, то есть взнос на амортизацию 1 долл.составляет величину обратную 3,1698 долл. При кредите в 3,1698 долл. под 10% годовых ежегодный платеж на его погашение в течение 4 лет равен 1 долл.
Математическое отношение одного платежа к первоначальной годовой сумме кредита, то есть взнос на амортизацию кредита, составляет
Эта величина показывает размер периодического платежа для погашения задолжности по кредиту 3,1698 долл.Таким образом, для того, чтобы полностью погасить долг - его первоначальную сумму и начисляемые на остаток 10% годовых за каждый доллар кредита по окончании каждого года в течение 4 лет - необходимо выплачивать 0,315477 долл.
Чем выше процентная ставка и/или короче амортизационный период, тем выше должен быть обязательный периодический взнос. И, наоборот, чем ниже ставка процента и/или более продолжительный период выплаты кредита, тем ниже процент регулярного взноса.
Каждый взнос на амортизацию единицы включает процент и выплату части первоначальной основной суммы кредита. Соотношение этих составляющих изменяется с каждым платежом.
Практическое использование фактора взноса на амортизацию единицы обусловило разработку специальных таблиц, которые содержат значение этого фактора в расчете на один доллар кредита или 100 долл. и т.д. При составлении таблиц используется формула, обратная формуле текущей стоимости аннуитета:
Где: РМТ - фактор взноса за амортизацию единицы; i - периодическая ставка процента; t - число периодов; а - текущая стоимость аннуитета.
Если условия выдачи кредитов предусматривают ежемесячное или поквартальное погашение за должности, то номинальная ставка годового процента делится на частоту начисления процента (соответственно на 12 или на 4), а для того, чтобы определить общее число периодов, число периодов в течение года умножается на общее число лет.
Как было указано выше, с течением времени сумма по выплачиваемым процентам уменьшается, так как уменьшается остаток (процент начисления на остаток), а сумма основной выплаты возрастает.
5.5. Пятая функция сложного процента
(накопление денежной единицы за период - колонка 2)
Фактор накопления единицы позволяет ответить на вопрос о том, какой по истечении всего установленного срока будет стоимость серии равных взносов, депонированных в конце каждого из периодических интервалов. Если мы вкладываем в течении трех лет 1 долл., то при ставке 10% годовых доллар, депонированный в конце первого года, будет приносить процент в течение последующих двух лет; доллар, депонированный в конце второго года, будет приносить процент в течение последующего одного года; доллар, депонированный в конце третьего года, не принесет процентов вовсе.
Пример. Предприниматель хочет накопить определенную сумму для покупки нового станка. Станок стоит 4,641 долл.
Он каждый год (в конце года) откладывает на депозит по одному доллару, который приносит 10%-ный годовой доход. К концу четвертого года он скапливает необходимую сумму (4,641 долл.) и покупает станок.
Расчет специальных таблиц накопления единицы за период S(ti i) осуществляется по следующей формуле:
Результаты расчётов помещаются в колонку 2 специальной таблицы сложного процента.
5.6. Шестая функция сложного процента
(фактор фонда возмещения - колонка 3)
Фактор фонда возмещения показывает сумму, которую нужно депонировать в конце каждого периода (периодический депозит), чтобы через заданное число периодов остаток на счете составил 1 долл. При этом учитывается процент, получаемый по депозитам.
Пример. Для получения одного долл., через четыре года при нулевом проценте необходимо депонировать в конце каждого года по 25 центов. Если ставка процента составит 10%, то по окончании каждого года необходимо депонировать всего 21,5471 центов. Разница между 1 долл. и суммы четырех вкладов (4- 21,5471 = 86,1884 центов), равная 13,8116 центов (100 центов-861884 центов), представляет собой процент, полученный по вкладам.
Пример. Предположим, что предпринимателю необходимо за четыре года скопить 4,641 долл., для покупки станка. Какие суммы денег ему необходимо откладывать каждый год при 10% годовых, чтобы через четыре года купить станок стоимостью 4,641 долл.?
Ответ: ежегодный вклад должен составить 1 долл. (0,215471 4,641=1 долл.).
В специальной таблице сложного процента (см. Приложение 1) фактор фонда возмещения находится в колонке 3.
Фактор фонда возмещения показывает сумму, которую необходимо депонировать в каждый период, чтобы по истечении заданного числа периодов остаток достиг одного доллара. Эта величина является обратной фактору накопления единицы за период (колонка 2).
Фактор фонда возмещения равен части от взноса на амортизацию 1 долл., который в свою очередь состоит из двух слагаемых: первый - ставка процента, второй - фактор фонда возмещения или возврат инвестированной суммы.
Приложение 1
Таблицы сложных процентов-шесть функций
денежной единицы
Начисление процентов - ежегодное
| Год
| Будущая стоимость единицы | Накопление единицы за период | Фактор фонда возмещения | Текущая стоимость единицы | Текущая стоимость единичного аннуитета | Взнос за амортизацию единицы |
| 1 | 1,06000 | 1,00000 | 1,00000 | 0,94340 | 0,94340 | 1,06000 |
| 2 | 1,12360 | 2,06000 | 0,48544 | 0,89000 | 1,83339 | 0,54544 |
| 3 | 1,19102 | 3,18360 | 0,31411 | 0,83962 | 2,67301 | 0,37411 |
| 4 | 1,26248 | 4,37462 | 0,22859 | 0,79209 | 3,46511 | 0,28859 |
| 5 | 1,33823 | 5,63709 | 0,17740 | 0,74726 | 4,21236 | 0,23740 |
| 6 | 1,41852 | 6,97532 | 0,14336 | 0,70496 | 4,91732 | 0,20336 |
| 7 | 1,50363 | 8,39384 | 0,11914 | 0,66506 | 5,58238 | 0,17914 |
| 8 | 1,59385 | 9,89747 | 0,10104 | 0,62741 | 6,20979 | 0,16104 |
| 9 | 1,68948 | 11,49132 | 0,08702 | 0,59190 | 6,80169 | 0,14702 |
| 10 | 1,79085 | 13,18079 | 0,07587 | 0,55839 | 7,36009 | 0,13587 |
| 11 | 1,89830 | 14,97164 | 0,06679 | 0,52679 | 7,88687 | 0,12679 |
| 12 | 2,01220 | 16,86994 | 0,05928 | 0,49697 | 8,38384 | 0,11928 |
| 13 | 2,13293 | 18,88214 | 0,05296 | 0,46884 | 8,85268 | 0,11296 |
| 14 | 2,26090 | 21,01507 | 0,04758 | 0,44230 | 9,29498 | 0,10758 |
| 15 | 2,39656 | 23,27597 | 0,04296 | 0,41727 | 9,71225 | 0,10296 |
| 16 | 2,54035 | 25,67253 | 0,03895 | 0,39365 | 10,10590 | 0,09895 |
| »7 | 2,69277 | 28,21288 | 0,03544 | 0,37136 | 10,47726 | 0,09544 |
| 18 | 2,85434 | 30,90565 | 0,03236 | 0,35034 | 10,82760 | 0,09236 |
| 19 | 3,02560 | 33,75999 | 0,02962 | 0,33051 | 11,15812 | 0,08962 |
| 20 | 3,20714 | 36,78559 | 0,02718 | 0,31180 | 11,46992 | 0,08718 |
| 21 | 3,39956 | 39,99273 | 0,02500 | 0,29416 | 11,76408 | 0,08500 |
| 22 | 3,60354 | 43,39229 | 0,02305 | 0,27751 | 12,04158 | 0,08305 |
| 23 | 3,81975 | 46,99583 | 0,02128 | 0,26180 | 12,30338 | 0,08128 |
| 24 | 4,04893 | 50,81558 | 0,01968 | 0,24698 | 12,55036 | 0,07968 |
| 25 | 4,29187 | 54,86451 | 0,01823 | 0,23300 | 12,78336 | 0,07823 |
| 26 | 4,54933 | 59,15638 | 0,01690 | 0,21981 | 13,00317 | 0,07690 |
| 27 | 4,82235 | 63,70576 | 0,01570 | 0,20737 | 13,21053 | 0,07570 |
| 28 | 5,11169 | 68,52811 | 0,01459 | 0,19563 | 13,40616 | 0,07459 |
| 29 | 5,41839 | 73,63980 | 0,01358 | 0,18456 | 13,59072 | 0,07358 |
| 30 | 5,74349 | 79,05818 | 0,01265 | 0,17411 | 13,76483 | 0,07265 |
| 31 | 6,08810 | 84,80168 | 0,01179 | 0,16425 | 13,92909 | 0,07179 |
| 32 | 6,45339 | 90,88978 | 0,01100 | 0,15496 | 14,08404 | 0,07100 |
| 33 | 6,84059 | 97,34316 | 0,01027 | 0,14619 | 14,23023 | 0,07027 |
| 34 | 7,25102 | 104,18375 | 0,00960 | 0,13791 | 14,36814 | 0,06960 |
| 35 | 7,68609 | 111,43478 | 0,00897 | 0,13011 | 14,49825 | 0,06897 |
| 36 | 8,14725 | 119,12087 | 0,00839 | 0,12274 | 14,62099 | 0,06839 |
| 37 | 8,63609 | 127,26812 | 0,00786 | 0,11579 | 14,73678 | 0,06786 |
| 38 | 9,15425 | 135,90421 | 0,00736 | 0,10924 | 14,84602 | 0,06736 |
| 39 | 9,70351 | 145,05846 | 0,00689 | 0,10306 | 14,94907 | 0,06689 |
| 40 | 10,28572 | 154,76197 | 0,00646 | 0,09722 | 15,04630 | 0,06646 |