Сущность рядов динамики и их виды.
Аналитические показатели динамических рядов.
Средние характеристики динамических рядов.
Смыкание динамических рядов и приведение их к одному основанию.
Выравнивание динамических рядов.
Выявление сезонных колебаний.
Интерполяция и экстраполяция уровней динамических рядов.
В предыдущих темах мы научились рассчитывать различные статистические показатели, но не учитывали, что они меняются во времени. Если рассчитать, например, среднюю зарплату за ряд лет, то получим ее динамический ряд. Таким образом возникает одна из важнейших статистических задач – составление и анализ рядов динамики, которые характеризуют развитие социально – экономических явлений во времени .
Ряд статистических показателей, расположенных в хронологической последовательности, называют рядом динамики или временным рядом.
| Момент времени времени |
Период времени
| моментный ряд динамики |
интервальный
ряд динамики
Рис. 1. Виды рядов динамики
Уровень моментного ряда динамики характеризует состояние какого-то явления на определённую дату, а уровень интервального ряда динамики характеризует итог развития какого-то явления за определённый период времени.
Следует иметь в виду, что моментные ряды могут быть построены из абсолютных и относительных величин, а интервальные ряды – из любых величин. Уровни интервальных рядов, построенных из абсолютных величин, можно суммировать (производство продукции по годам), для моментных же рядов сумма уровней даже из абсолютных величин не имеет смысла (численность студентов).
При построении динамических рядов возникает проблема сопоставимости их уровней.
Уровни динамического ряда должны быть сопоставимы, т.е. однородны по своему содержанию за разные периоды времени или на разные моменты времени.
Однако существует ряд причин, которые нарушают сопоставимость уровней. Основные причины следующие:
1. Различный охват единиц совокупности, по которым рассчитываются уровни динамического ряда (пример со средним баллом: стационар + заочники).
2. Различная методология расчётов статистических показателей (пример с производством электроэнергии).
3. Цены (Большинство экономических показателей стоимостные, и постоянный рост цен приводит к несопоставимости уровней динамических рядов).
Основные задачи статистического анализа рядов динамики:
1. Характеристика интенсивности изменения уровней рядов динамики. Эта задача решается с помощью системы аналитических показателей (второй вопрос темы).
2. Обобщающая характеристика динамики явления. Эта заача решается с помощью расчета средних показателей рядов динамики (третий вопрос темы).
3. Выявление основных закономерностей динамики явления. Для решения этой задачи используют различные методы выравнивания (четвертый вопрос).
4. Прогноз развития явления. Существует множество методов прогноза, то есть экстраполяции выявленной закономерности развития (Простейшие – пятый вопрос).
Аналитические показатели динамических рядов рассчитываются путём сопоставления уровней динамического ряда. Назначение этих показателей - охарактеризовать интенсивность изменения уровней динамического ряда.
Сравнение уровней динамического ряда может проводиться двумя способами: цепным и базисным.
При цепном способе сравнения каждый уровень сравнивается с предыдущим и получают цепные аналитические показатели или показатели с переменной базой сравнения.
При базисном способе сравнения каждый уровень динамического ряда сравнивается с базисным уровнем (обычно начальный уровень ряда) и полученные таким способом показатели называются базисными или показателями с постоянной базой сравнения. Введем обозначения.
Уровни динамического ряда – у 0 , у 1 , у 2 ,…,у n
y 0 – базисный уровень
при цепном способе у 0 , у 1 , у 2 ,…,у n
при базисном у 0 , у 1 , у 2 ,…,у n
Чаще всего рассчитывают следующие аналитические показатели:
1. Абсолютный прирост или абсолютное отклонение.
2. Темп роста.
3. Темп прироста (относительное отклонение).
4. Абсолютное содержание 1% прироста.
Рассмотрим названные показатели.
Абсолютный прирост – разность уровней динамического ряда. Он показывает, на сколько единиц своего измерения изменился статистический показатель.
Цепной абсолютный прирост - это разница между каждым последующим и каждым предыдущим уровнями ряда.
Базисный абсолютный прирост – это разница между каждым последующим уровнем ряда и уровнем, принятым за базу сравнения.
Сумма цепных приростов даёт последний базисный прирост.
Темп роста – отношение уровней динамического ряда, следовательно, он показывает, во сколько раз изменился статистический показатель. Темпы роста могут выражаться в коэффициента и в процентах.
(последний)
Произведение цепных темпов роста (П) даёт темп роста базисный последний.
Темп прироста – отношение абсолютного прироста (цепного или базисного) к предыдущему или базисному уровню, т.е. это относительное отклонение, которое показывает, на сколько процентов изменился статистический показатель.
Абсолютное содержание 1% прироста – отношение абсолютного цепного прироста к цепному темпу прироста, выраженному в %, т.е. он показывает, сколько «стоит» 1% прироста.
Таблица 15 – Динамика производства электроэнергии в Республике Беларусь
| Показатели | 2008 г. | 2009 г. | 2010 г. |
| 1 Производство электроэнергии, млрд. кВт/ч | 31,2 | 33,1 | 32,7 |
| 2 Абсолютное отклонение, млрд. кВт/ч | |||
| - к предыдущему году | - | 1,9 | -0,4 |
| - к 2008 г. | 1,9 | 1,5 | |
| 3 Темп роста, % | |||
| - к предыдущему году | - | 10,1 | 98,8 |
| - к 2008 г. | 100,0 | 106,1 | 104,8 |
| 4 Темп прироста, % | |||
| - к предыдущему году | - | 6,1 | -1,2 |
| - к 2008 г. | 6,1 | 4,8 | |
| Абсолютное содержание 1% изменения, млрд. кВт/ч | 0,312 | 0,331 |
В 2010 г. производство электроэнергии в Республике Беларусь выросло по сравнению с 2008 г. на 1,5 млрд.квт-час или 4,8%, однако по сравнению с 2009 г. оно снизилось на 0,4 млрд.квт-час или 1,2%. 1% снижения составляет 0,331млрд.квт-час.
Для обобщения рядов динамики рассчитывают их средние характеристики. Можно выделить две группы таких характеристик:
1. Средние уровни динамического ряда.
2. Средние аналитические показатели динамического ряда.
Рассмотрим расчёт показателей первой группы.
Расчёт среднего уровня зависит от вида динамического ряда. Для интервальных рядов с равными периодами времени средний уровень рассчитывается по формуле средней арифметической простой:
Для интервальных рядов с неравными периодами времени используется среднеарифметическая взвешенная.
Для моментных рядов с равностоящими датами средний уровень ряда рассчитывается по средней хронологической.
Для моментных рядов с неравноотстоящими датами используют среднюю арифметическую взвешенную.
Пример. На 1 января стоимость основных средств составила 7,5 млрд. рублей. В марте введено основных средств на сумму 1,2 млрд. рублей. В мае их выбыло на 0,7 млрд. рублей. В сентябре ввели основные средства на 0,8 млрд. рублей. Определить среднегодовую стоимость основных средств.
6.1. Ряды динамики. Классификация динамических рядов
Ряд динамики, хронологический ряд, динамический ряд, временной ряд – это последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень развития изучаемого явления. Всякий ряд динамики включает, следовательно, два обязательных элемента: во-первых, время и, во-вторых, конкретное значение показателя, или уровень ряда. Ряды динамики различаются по следующим признакам.
1. По времени – моментные и интервальные ряды. Интервальный ряд динамики – последовательность, в которой уровень явления относится к результату, накопленному или вновь произведенному за определенный интервал времени. Таковы, например, ряды показателей объема продукции по месяцам года, количества отработанных человеко-дней по отдельным периодам и т.д. Если же уровень ряда показывает фактическое наличие изучаемого явления в конкретный момент времени, то совокупность уровней образует моментный ряд динамики. Примерами моментных рядов могут быть последовательности показателей численности населения на начало года, величины запаса какого-либо материала на начало периода и т.д. Важное аналитическое отличие моментных рядов от интервальных состоит в том, что сумма уровней интервального ряда дает вполне реальный показатель – общий выпуск продукции за год, общие затраты рабочего времени, общий объем продаж акций и т.д., сумма же уровней моментного ряда, хотя иногда и подсчитывается, но реального содержания, как правило, не имеет.
2. По форме представления уровней – ряды абсолютных, относительных и средних величин (табл. 6.1 – 6.3).
3. По расстоянию между датами или интервалам времени выделяют полные и неполные хронологические ряды.
Полные ряды динамики имеют место, когда даты регистрации или окончания периодов следуют друг за другом с равными интервалами. Это равноотстоящие ряды динамики (см. табл. 6.1 и 6.2). Неполные – когда принцип равных интервалов не соблюдается (см. табл. 6.3).
Таблица 6.1
Объем продаж долларов США на ММВБ, млн. долл.
Таблица 6.3
Потребление основных продуктов питания на одного члена семьи, кг/год
Чтобы о развитии явления можно было получить представление при помощи числовых уровней, при составлении ряда динамики должны приводиться в сопоставительный вид.
Статистические данные должны быть сопоставимы по территории, кругу охватываемых объектов, единицам измерения, времени регистрации, ценам, методологии расчета. Сопоставимость по территории означает, что данные по странам и регионам, границы которых изменились, должны быть пересчитаны в старых пределах. Сопоставимость по кругу охватываемых объектов означает сравнение совокупностей с равным числом элементов. Территориальная и объемная сопоставимость обеспечивается смыканием рядов динамики, при этом либо абсолютные уровни заменяются относительными, либо делается пересчет в условные абсолютные уровни. Не возникает особых сложностей при обеспечении сопоставимости данных по единицам измерения; стоимостная сравнимость достигается системой сопоставимых цен.
Числовые уровни рядов динамики должны быть упорядоченными во времени. Не допускается анализ рядов с пропусками отдельных уровней, если же такие пропуски неизбежны, то их восполняют условными расчетными значениями.
6.2. Показатели анализа рядов динамики
При изучении явления во времени перед исследователем встает проблема описания интенсивности
изменения и расчета средних показателей динамики. Решается она путем построения соответствующих
показателей. Для характеристики интенсивности изменения во времени такими показателями будут:
1) абсолютный прирост,
2) темпы роста,
3) темпы прироста,
4) абсолютное значение одного процента прироста.
Расчет показателей динамики представлен в следующей таблице.
| Показатель | Базисный | Цепной |
|
Абсолютный прирост * |
Y i -Y 0 | Y i -Y i-1 |
|
Коэффициент роста (К р) |
Y i: Y 0 | Y i: Y i-1 |
|
Темп роста (Т р) |
(Y i: Y 0)×100 | (Y i: Y i-1)×100 |
|
Коэффициент прироста (К пр) ** |
 |
 |
|
Темп прироста (Т пр) |
 |
 |
| Абсолютное значение одного процента прироста (А) |  |
* 
** 
В случае, когда сравнение проводится с периодом (моментом) времени, начальным в ряду динамики, получают базисные показатели. Если же сравнение производится с предыдущим периодом или моментом времени, то говорят о цепных показателях.
Рассмотрим пример. Имеются данные об объемах и динамике продаж акций на 15 крупнейших биржах России за пять месяцев 1993 г.
| Показатель | Март | Апрель | Май | Июнь | Июль | Август |
|
Объем продаж, млн. руб. |
709,98
-
- |
1602,61 892,63 225,7 125,7 |
651,83 950,78 40,7 59,3 |
220,80 431,03 33,9 66,1 |
327,68 106,88 148,4 48,4 |
277,12 50,56 84,6 15,4 |
Система средних показателей динамики включает:
средний уровень ряда,
средний абсолютный прирост,
средний темп роста,
средний темп прироста.
Средний уровень ряда – это показатель, обобщающий итоги развития явления за единичный интервал или момент из имеющейся временной последовательности. Расчет среднего уровня ряда динамики определяется видом этого ряда и величиной интервала, соответствующего каждому уровню.
Для интервальных рядов с равными периодами времени средний уровень Y рассчитывается следующим образом:
где n или (n +1) – общая длина временного ряда или общее число равных временных отрезков, каждому из которых соответствует свой уровень Y i (1 = 1, 2, ..., n или 1 = 0, 1, 2, ..., n).
Средний абсолютный прирост рассчитывается по формулам в зависимости от способа нумерации интервалов (моментов).
.
Средний темп роста:
где – средний коэффициент роста, рассчитанный как 
. Здесь К цеп – цепные коэффициенты роста;
Средний темп прироста (%) определяется по единственной методологии:
6.3. Изучение тенденции развития
Всякий ряд динамики теоретически может быть представлен в виде составляющих:
1) тренд – основная тенденция развития динамического ряда (к увеличению либо снижению его
уровней);
2) циклические (периодические) колебания, в том числе сезонные;
3) случайные колебания.
Изучение тренда включает два основных этапа:
1) ряд динамики проверяется на наличие тренда;
2) производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией
полученных результатов.
Непосредственное выделение тренда может быть произведено тремя методами.
1. Укрупнение интервалов. Ряд динамики разделяют на некоторое достаточно большое число равных интервалов. Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления, переходят к расчету уровней за большие промежутки времени, увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается количество интервалов).
2. Скользящая средняя. В этом методе исходные уровни ряда заменяются средними величинами, которые получают из данного уровня и нескольких симметрично его окружающих. Целое число уровней, по которым рассчитывается среднее значение, называют интервалом сглаживания. Интервал может быть нечетным (3, 5, 7 и т.д. точек) или четным (2, 4, 6 и т.д. точек).
При нечетном сглаживании полученное среднее арифметическое значение закрепляют за серединой расчетного интервала, при четном этого делать нельзя. Поэтому при обработке ряда четными интервалами их искусственно делают нечетными, для чего образуют ближайший больший нечетный интервал, но из крайних его уровней берут только 50 %.
Недостаток методики сглаживания скользящими средними состоит в условности определения сглаженных уровней для точек в начале и конце ряда. Получают их специальными приемами – расчетом средней арифметической взвешенной.
3. Аналитическое выравнивание. Под этим понимают определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления. Развитие предстает перед исследователем как бы в зависимости только от течения времени. В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий, суммарный, проявляющийся во времени результат действия всех причинных факторов. Отклонение конкретных уровней ряда от уровней, соответствующих общей тенденции, объясняют действием факторов, проявляющихся случайно или циклически. В результате приходят к трендовой модели
где f(t) – уровень, определяемый тенденцией развития;
e t – случайное и циклическое отклонение от тенденции.
Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости f(t). На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.
Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости:
Линейная зависимость выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.
Параболическая зависимость используется, если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.
Экспоненциальные зависимости применяются, если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста), либо, при отсутствии такого постоянства, – устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста, цепных коэффициентов роста цепных же коэффициентов или темпов роста и т.п.).
Оценка параметров (a 0 , a 1 , a 2 , ...) осуществляется следующими
методами:
1) методом избранных точек,
2) методом наименьших расстояний,
3) методом наименьших квадратов (МНК).
В большинстве расчетов используют метод наименьших квадратов, который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней от выравненных:
Для линейной зависимости (f(t)=a 0 +a 1 t) параметр а 0 обычно интерпретации не имеет, но иногда его рассматривают как обобщенный начальный уровень ряда; а 1 – сила связи, т.е. параметр, показывающий, насколько изменится результат при изменении времени на единицу. Таким образом, а можно представить как постоянный теоретический абсолютный прирост. Построив уравнение регрессии, проводят оценку его надежности. Это делается посредством критерия Фишера (F). Фактический уровень (F факт) сравнивается с теоретическим (табличным) значением:
где k – число параметров функции, описывающей тенденцию;
n – число уровней ряда;
F факт сравнивается с F теор при v 1 = (k-1), v 2 = (n-k) степенях свободы и уровне значимости a (обычно a = 0,05). Если F факт > F теор, уравнение регрессии значимо, т.е. построенная модель адекватна фактической временной тенденции.
Выравнивание проведено по линейной трендовой модели. Оценка параметров уравнения выполнена методом наименьших квадратов.
Таким образом, f(t) = у t = 10,128-0,073t для t= -13, -11, -9, ..., +13, или f(t) = у t = 11,077-0,1461 для t = 0, 1, ..., 13.
Параметры последнего уравнения регрессии можно интерпретировать следующим образом: a 0 = 11,077 – это исходный уровень брачности по России за период до 1977 г.; а 1 = -0,146 – показатель силы связи, т.е. в России за период с 1977 по 1990 г. происходило снижение уровня брачности на 0,146 ежегодно.
В качестве примера рассмотрим число зарегистрированных браков на 1000 жителей России за период с 1977 по 1990 г.:
| Год | Число зарегистри- рованных браков, % |
t | у×t | t 2 | f(t) |
| 1977 | 11,2 | -13 | -145,6 | 169 | 11,077 |
| 1978 | 10,9 | -11 | -119,9 | 121 | 10,931 |
| 1979 | 10,7 | -9 | -96,3 | 81 | 10,785 |
| 1980 | 10,6 | -7 | -74,2 | 49 | 10,639 |
| 1981 | 10,6 | -5 | -53,2 | 25 | 10,493 |
| 1982 | 10,4 | -3 | -31,2 | 9 | 10,347 |
| 1983 | 10,4 | -1 | -10,4 | 1 | 10,202 |
| 1984 | 9,6 | 1 | 9,6 | 1 | 10,056 |
| 1985 | 9,7 | 3 | 29,1 | 9 | 9,910 |
Уровни интервального ряда характеризуют результат изучаемого процесса за период времени: производство или реализация продукции (за год, квартал, месяц и др. периоды), число принятых на работу, число родившихся и.т.п. Уровни интервального ряда можно суммировать. При этом получаем такой же показатель за более длительные интервалы времени.
Средний уровень в интервальных рядах динамики () исчисляется по формуле средней арифметической простой:
- y - уровни ряда (y 1 , y 2 ,...,y n ),
- n - число периодов (число уровней ряда).
Уi -1 - уровень периода, предшествующего текущему;
У0 - уровень, принятый за постоянную базу сравнения n- число уровней ряда;
t - продолжительность периода, в течение которого уровень не изменялся
Ц – епной
Б - базисный
уi - уровень сравниваемого периода;
Коэффициент роста
Темп прироста (Тпр) показывает относительную величину прироста и показывает, на сколько процентов сравниваемый уровень больше или меньше уровня, принятого за базу сравнения.
Темп прироста можно получить из темпа роста:
Коэффициент прироста
Абсолютное значение 1% прироста (А%) - это отношение абсолютного прироста к темпу прироста, выраженный в процентах и показывает значимость каждого процента прироста за тот же период времени:
укрупнение интервалов – это простейший метод сглаживания уровней ряда с целью выявить основную тенденцию их изменения. При этом для укрупненных интервалов определяется итоговое значение или средняя величина исследуемого показателя. Этот метод особенно эффективен, если первоначальные уровни ряда соответствуют коротким промежуткам времени.
Аналитическое выравнивание - наиболее совершенный способ определения тенденции развития в рядах динамик. При этом методе фактические ур-ни заменяются теоретическими илил расчетными.
1. . Средний уровень интервального ряда динамики определяется как средняя: Арифметическая
2. В практике статистики при расчете относительного показателя динамики используют следующие данные:
· Текущий уровень явления
· Предшествующий (базисный) уровень явления
3. Сбор бананов в Эквадоре в 2006 году составил 106,1% от уровня 2005 года. Данная величина является: Темпом роста
4. Средний уровень интервального ряда динамики определяется как:
Средняя арифметическая
5. Ряд динамики, характеризующий экспорт страны по каждому году за период с 2000 по 2006 годы, по виду относится: к интервальным рядам динамики .
6. По формуле игрек итое/ игрек итое минус один определяется:
Цепной коэффициент роста
7. Согласно теории статистики с относительным показателем динамики непосредственно связаны следующие показатели
· Относительный показатель плана
· Относительный показатель реализации плана
8. Стоимость основных средств предприятия на 1 января составила 10млн.руб., на 1февраля-12млн.руб, на 1марта-15млн. руб., на 1апреля-14млн.руб. Среднемесячная стоимость основных средств за квартал равна___10млн.руб.______
9. Отношение уровней ряда динамики называется:
Коэффициентом роста
ИНДЕКСНЫЙ МЕТОД
Индекс - представляет собой результат сравнения двух состояний одного явления.
Индексы - один из наиболее распространенных статистических показателей, используемый для экономических расчетов. Наиболее часто используются индексы, характеризующие изменение во времени, т.е. в этом случае индекс представляет собой показатель динамики.
С помощью индексов решаются следующие задачи :
- Определяются обобщающие показатели:
- обобщающие показатели динамики;
- территориальных сравнений;
- сравнение с планом.
- относительное влияние факторов на результат;
- абсолютный прирост результата в зависимости от динамики факторов.
Сравнение может проводиться по отдельным единицам совокупности и по совокупности единиц. В зависимости от этого различают индивидуальные и сложные индексы.
Если сравнение производится по отдельным единицам совокупности, имеем индивидуальный или элементарный индекс. Например, сравнение цены в разных магазинах на один и тот же товар (индивидуальный территориальный индекс), сравнение объема продаж картофеля на двух рынках, сравнение цен на картофель в сентябре по сравнению с маем (индивидуальный индекс цен) и т.д.
В каждом индексе выделяют 3 элемента:
- индексируемый показатель - это показатель, соотношение уровней которого характеризует индекс
- сравниваемый уровень - это тот уровень, который сравнивают с другим.
- базисный уровень - это тот уровень, с которым производится сравнение.
Для расчета индекса необходимо найти отношение сравниваемого уровня к базисному и выразить его в виде коэффициента, если база сравнения приравнивается к единице, или в процентах, если база сравнения принимается за 100%. Обычно расчеты индексов производятся в форме коэффициентов с точностью до третьего знака после запятой, т. е. до 0,001, в форме процентов - до десятых долей процента, т.е. до 0,1%.
Для удобства построения индексов используется специальная символика:
- i - символ индексируемого показателя - индекс, характеризующий изменение уровня элемента явления.
- I - с подстрочным индексируемым показателем - для группы элементов или всей совокупности в целом.
- q - количество проданных товаров или произведенной продукции в натуральном выражении
- p - цена за единицу товара
- z - себестоимость единицы продукции
- w - производительность труда
- T - отработанное время или численность работников
- l - средняя заработная плата одного работника
- 0 - базисный период
- 1 - отчетный период
Математически элементарные индексы выглядят следующим образом:
Сравнивать можно также агрегатные величины , то есть величины, которые представляют собой произведение других величин. Например, индекс товарооборота характеризует изменение объема продаж, если рассчитать изменение товарооборота по одному наименованию продукции - это будет индивидуальный индекс товарооборота:
Индекс Фишера – среднегеометрическая суммы Паоше и Ласпириса
СРЕДНИЕ ИНДЕКСЫ
Индекс переменного состава Iпер представляет собой отношение двух взвешенных средних величин, характеризующее изменение индексируемого (осредняемого) показателя.
Величина этого индекса характеризует изменение средней взвешенной за счет влияния двух факторов: осредняемого показателя у отдельных единиц совокупности и структуры изучаемой совокупности.
Индекс постоянного (фиксированного) состава Iфикс
представляет собой отношение средних взвешенных с одним и теми же весами (т.е. при постоянной структуре).
Индекс постоянного состава учитывает изменение только индексируемой величины и показывает средний размер изменения изучаемого показателя у единиц совокупности.
Индекс структурных сдвигов Iстр
характеризует влияние изменения структуры изучаемого явления на динамику среднего уровня индексируемого показателя.
Под структурными изменениями понимается изменение доли отдельных групп единиц совокупности к общей их численности.
Система взаимосвязанных индексов при анализе динамики средних величин имеет вид:
· базисные индексы: ; ; ;
· цепные индексы: ; ; .
Между цепными и базисными индивидуальными индексами существует взаимосвязь, позволяющая переходить от одних индексов к другим - произведение последовательных цепных индивидуальных индексов дает базисный индекс последнего периода:
Отношение базисного индекса отчетного периода к базисному индексу предшествующего периода дает цепной индекс отчетного периода:
Это правило позволяет применять так называемый цепной метод, т.е. находить неизвестный ряд базисных индексов по известным цепным и наоборот.
1. При изучении динамики цен в практике статистики применяют индексы цен в следующих формах:
- Пааше
- Ласпейреса
2. Цена товара А, производимого в организации, в базисном периоде составила 1000 р., а в текущем 1200 р. В соответствии с теорией статистики можно сказать:
· Индекс цен составил 120%
· Изменение цены отражает индивидуальный индекс цен
3. В теории статистики изменение объема реализации товара А в стоимостном выражении отражает:
· Индивидуальный индекс товарооборота
· Произведение индивидуальных индексов цены и физического объема реализации
4. Индекс структурных сдвигов, рассчитанный для рентабельности продаж, равный 1,023, показывает:
В структуре продаж увеличилась доля более рентабельных видов продукции и привела к росту средней рентабельности продаж по всем видам товаров на 2.3%
5. В социально-экономической статистике для вычисления индекса потребительских цен (индекс Ласпейреса) по формуле средней арифметической взвешенной используются следующие данные по каждой группе товаров:
- Индекс цены
6. По данным статистики в течение года номинальная заработная плата увеличилась на 21,8%, потребительские цены за этот период увеличились на 16%. Изменение реальной зарплаты может быть выражено следующими из нижеприведенных данных:
- Возросла на 5,8%
- Возросла в 1,058 раза
7. В статистике финансов для вычисления индекса дефлятора используют следующие данные:
· Текущий объем ВВП в ценах базисного периода
· Текущий объем ВВП в текущих ценах
8. Согласно теории статистики коэффициент Лоренца характеризуют следующие утверждения:
· Изменяется от 0 до 1
· Позволяет оценить степень неравномерности распределения признака
9. В теории статистики изменение уровня себестоимости ассортимента продукции отражает:
· Сводный индекс затрат на производство
· Произведение сводных индексов себестоимости и физического объема продукции
10. В практике статистики при расчете сводного индекса Ласпейреса используют следующие данные
· Цены базисного и отчетного периода
· Количество товаров базисного периода
11. В практике статистики при расчете сводного индекса товарооборота используют следующие данные:
- Товарооборот базисного периода
- Товарооборот отчетного периода
12. По данным статистики за период 2006-2007г.г. и 2007 – 2008г.г. темпы роста цен на товары и услуги в регионе составили соответственно 110% и 107%. На основе приведенных данных можно утверждать, что темп роста цен в 2008г. по сравнению с 2006г:
- Равен 117,7%
- Характеризует повышение цен на 17,7%
16. Показатели динамического ряда, их вычисление и практическое применение.
Динамический ряд ― ряд однородных сопоставимых величин, показывающих изменение изучаемого явления во времени. Это статистическая форма отображения развития явлений во времени. Числа, составляющие динамический ряд, принято называть уровнями ряда. Уровни ряда могут быть представлены абсолютными числами, относительными и средними величинами .
Различают следующие виды динамических рядов.
Простой ― ряд, составленный из абсолютных величин, характеризующих
динамику одного явления.
Простые ряды являются исходными для построения производных рядов.
Производный ― ряд, состоящий из средних или относительных величин.
Интервальный ряд состоит из последовательного ряда чисел, характеризующих изменение явления на определенный период (по времени).
Моментный ряд состоит из величин, определяющих размеры явления не за какой-либо отрезок времени, а на определенную дату - момент.
Для более глубокого понимания сути развития общественных явлений исчисляют такие показатели динамического ряда, как абсолютный прирост, темп прироста, темп роста, абсолютное значение 1% прироста.
Абсолютным приростом называют разницу между каждым последующим уровнем и уровнем предыдущим. Абсолютный прирост может быть положительным и отрицательным.
Темпом роста называется отношение каждого последующего уровня к предыдущему, выраженному в процентах.
Темпом прироста называется отношение абсолютного прироста к предыдущему уровню, принятому за 100%.
Так как каждому относительному показателю соответствуют определенные абсолютные величины, то при изучении темпов прироста нужно обязательно учитывать, какая абсолютная величина соответствует каждому проценту прироста, каково его содержание. Для этого исчисляется такой показатель, как абсолютное значение одногопроцента прироста. Он определяется как частное от деления абсолютного прироста за определенный период на темп прироста в процентах за этот же период.
Для иллюстрации расчетов рассмотренных статистических показателей приведем ряд динамики.
Приведем пример. Необходимо дать анализ динамики рождаемости в определенном районе (таблица 5).
Т а б л и ц а 5 - Динамика рождаемости в регионе за 1996–2005гг .
|
Рождаемость, % |
Абсолютный прирост |
Темп прироста, % |
Темп роста, % |
Абсолютное значение 1% прироста |
|
1. Определяем абсолютный прирост: 8,9 – 9,4 = – 0,5; 9,2 – 8,9 = 0,3 и т.д.
Вычисляем темп прироста: – 0,5×100/9,4 = – 5,3 и т.д.
3. Находим темп роста: 8,9×100/9,4 = 94,7 и т.д.
4. Получаем абсолютное значение 1% прироста: – 0,5/ – 5,3 = 0,09
Динамический ряд не всегда состоит из уровней, последовательно изменяющихся в сторону снижения или увеличения. Нередко уровни динамического ряда резко колеблются, и это не позволяет выявить основную тенденцию, свойственную изучаемому явлению за определённый период времени. В таких случаях проводится выравнивание динамического ряда. Существует несколько способов выравнивания динамического ряда: укрупнения интервала, сглаживание путем вычисления скользящей средней, аналитическое выравнивание по прямой и др.
Рассмотрим выравнивание по прямой линии, которое осуществляется следующим образом:
У t (теоретические уровни) = а o +а 1 t, где t - условное обозначение времени, а o и а 1 - параметры искомой прямой, которые находятся из решения системы уравнений:
na 0 + a 1 Σt = Σy;
a 0 Σt + a 1 Σt 2 = Σyt; где y - фактические уровни; n - число рядов динамики. Система уравнений упрощается, если t подобрать так, чтобы их сумма равнялась 0, т.е. начало отсчета времени перенести в середину рассматриваемого периода. Тогда:
a 0 = Σy/n; a 1 = Σyt/ Σt 2 .
Подставляя полученные значения a 0 и a 1 в формулу, вычисляют все значения теоретического уровня.
Рассмотрим следующий пример (таблица 6):
Т а б л и ц а 6: Выравнивание рождаемости за 2003–2008 г г.
|
Рождаемость, (у) |
Условное обозначение времени, t |
Теоретический уровень после выравнивания |
Трехлетние скользящие средние |
|||
n = 6 Σy = 53,6 Σyt = – 30,6 Σ tt=70.
Если ряд четный, отсчет ведется с 1 (середина ряда), затем последовательно нечетные числа 3, 5, 7 и т.д. в обе стороны (вверх с – ; вниз с +); если ряд нечетный, отсчет условного обозначения времени ведется с 0 (середина ряда), затем - 1, 2, 3 и т.д. в обе стороны.
Порядок вычисления следующий:
У t (теоретические уровни) = а o +а 1 t;
a 0 = Σy/n; a 1 = Σyt/ Σt 2 ;
a 0 = 8,9 a 1 = – 0,4;
8,9 + (– 0,4) × (– 5) = 11;
8,9 + (– 0,4) × (– 3) = 10,1; и т.д.
Порядок вычисления скользящей средней:
Для 2004 года (9,4 + 8,9 + 9,2) / 3 = 9,2.
Для 2005 года (8,9 + 9,2 + 8,3) / 3 = 8,8 и т.д.
Укрупнение интервала производят путём суммирования данных за ряд смежных периодов (таблица 7).
Т а б л и ц а 7
|
Рождаемость |
За 2003–2005 рождаемость составляет 9,4+8,9+9,2=27,5.
За 2006–2008 рождаемость составляет 8,3+9,4+8,4=26,1.
17. Связи между явлениями (функциональная, корреляционная). Виды корреляционной связи по силе и направлению. Метод корреляции рядов (Пирсона), этапы вычисления коэффициента корреляции, оценка достоверности
Все явления в природе и обществе находятся во взаимной связи. По характеру зависимости явлений различают:
функциональную (полную);
корреляционную (неполную) связи.
Функциональная связь означает строгую зависимость явлений, когда любому значению одного из них всегда соответствует определенное одно и тоже значение другого.
При корреляционной же связи одной и той же величине одного признака соответствуют разные величины другого. Например: между ростом и весом имеется корреляционная связь, между заболеваемостью злокачественными новообразованиямии возрастом и т.д.
По направлению различают прямые и обратные корреляционные связи. При прямой ― увеличение одного из признаков ведет к увеличению другого; при обратном же ― с увеличением одного признака второй уменьшается.
По силе связь может быть сильной, средней и слабой. На основе статистического анализа можно установить наличие связи, ее направление и измерить ее силу.
Одним из способов
измерения связи между явлениями является
вычисление коэффициента корреляции,
который обозначается r ху.
Наиболее
точным является метод квадратов
(Пирсона), при котором коэффициент
корреляции определяется по формуле:
,
где
r ху ― коэффициент корреляции между статистическим рядом X и Y.
d х ― отклонение каждого из чисел статистического ряда X от своей средней арифметической.
d у ― отклонение каждого из чисел статистического ряда Y от своей средней арифметической.
В зависимости от силы связи и ее направления коэффициент корреляции может находиться в пределах от 0 до 1 (-1). Коэффициент корреляции, равный 0, говорит о полном отсутствии связи. Чем ближе уровень коэффициента корреляции к 1 или (-1), тем соответственно больше, теснее измеряемая им прямая или обратная связь. При коэффициенте корреляции равном 1 или (-1) связь полная, функциональная.
Схема оценки силы корреляционной связи по коэффициенту корреляции
|
Сила связи |
Величина коэффициента корреляции при наличии |
|
|
прямой связи (+) |
обратной связи (-) |
|
|
Связь отсутствует | ||
|
Связь малая (слабая) |
от 0 до +0,29 |
от 0 до –0,29 |
|
Связь средняя (умеренная) |
от +0,3 до +0,69 |
от –0,3 до –0,69 |
|
Связь большая (сильная) |
от +0,7 до +0,99 |
от –0,7 до –0,99 |
|
Связь полная (функциональная) | ||
Для вычисления коэффициента корреляции по методу квадратов составляется таблица из 7 колонок. Разберем процесс вычисления на примере:
ОПРЕДЕЛИТЬ СИЛУ И ХАРАКТЕР СВЯЗИ МЕЖДУ
|
Пора- ность зобом (V y ) |
d x = V x –M x |
d y = V y –M y |
d x d y |
d x 2 |
d y 2 |
|
|
Σ -1345 ,0 |
Σ 13996 ,0 |
Σ 313 , 47 |
1. Определяем среднее содержание йода в воде (в мг/л).
мг/л
2.Определяем среднюю пораженность зобом в %.
3. Определяем отклонение каждого V x от М x , т.е. d x .
201–138=63; 178–138=40 и т.д.
4. Аналогично определяем отклонение каждого V у от M у, т.е. d у.
0,2–3,8=-3,6; 0,6–38=-3,2 и т.д.
5. Определяем произведения отклонений. Полученное произведение суммируем и получаем.
6. d х возводим в квадрат и результаты суммируем, получаем.
7. Аналогично возводим в квадрат d у, результаты суммируем, получим
8. Наконец, все полученные суммы подставляем в формулу:
Для решения вопроса о достоверности коэффициента корреляции определяют его среднюю ошибку по формуле:
(Если число наблюдений менее 30, тогда в знаменателе n–1).
В нашем примере
Величина коэффициента корреляции считается достоверной, если не менее чем в 3 раза превышает свою среднюю ошибку.
В нашем примере
Таким образом, коэффициент корреляции не достоверен, что вызывает необходимость увеличения числа наблюдений.
Коэффициент корреляции можно определить несколько менее точным, но намного более легким способом ― методом рангов (Спирмена).
Оценка достоверности:
1. оценка достоверности интенсивного показателя:
m = √P x q / n(корень со всего)
где p - показатель, выраженный в %, ‰, %оо и т.д. q = (100 - р), при p выраженном в %; или (1000 - р), при p выраженном в ‰ или (10000 - р), при p выраженном в %оо и т.д.
t=1, достоверность 68,3%
2. Оценка достоверности разности 2 интенсивных показателей
М1 и м2 ошибки репрезентативности.
3. оценка достоверности среднеарифметической
Где σ - среднеквадратическое отклонение n - число наблюдений
T=M/m, если t больше 2 , ср. арифметическая достоверна.
4 .оценка достоверности разности 2 ср. арифметических
Для нахождения среднего значения моментного ряда с равностоящими уровнями используют среднюю хронологическую: .
Средняя хронологическая для разностоящих уровней моментного ряда :
Назначение сервиса . С помощью данного онлайн калькулятора можно рассчитать среднее значение моментного ряда по формулам средней хронологической.
Инструкция . Выберите количество данных и укажите, что задано: дни, месяцы или годы
Пример №1 . Численность населения города составила:
- на 1 января – 80500 человек,
- на 1 февраля – 80540 человек,
- на 1 марта – 80550 человек,
- на 1 апреля– 80560 человек,
- на 1 июля – 80620 человек,
- на 1 октября – 80680 человек,
- на 1 января следующего года – 80690 человек.
Решение.
Представленные данные - моментный ряд. Находим средние по формуле средней хронологической.
Средняя хронологическая для разностоящих уровней моментного ряда:
y ср = (80500+80540)*1 + (80540+80550)*1 + (80550+80560)*1 + (80560+80620)*3 + (80620+80680)*3 + (80680+80690)*3/(2*12) = 1934790/(2*12) = 80616.25 ≈ 80616 человек
Средняя за I квартал:
человек
Средняя за II квартал:
человек
Средняя за III квартал:
человек
Средняя за первое полугодие:
человек
Пример №2
. По данным Таблицы 7
(Приложение 2) выбрать динамический ряд, соответствующий Вашему варианту, для которого:
1. Рассчитать:
а) среднегодовой уровень ряда динамики;
б) цепные и базисные показатели динамики: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста;
в) средний абсолютный прирост, средний темп роста, средний темп прироста.
Методические указания
Для характеристики динамики рассчитывают систему показателей динамики.
| Показатель динамики | Формулы расчета | |
| на цепной основе | на базисной основе | |
| Абсолютный прирост (+), сокращение (-) | Δ ц =y i -y i-1 | Δ б =y i -y 1 |
| Коэффициент роста | ||
| Темп роста |  |  |
| Темп прироста |  |  |
| Абсолютное значение одного процента прироста | A1%=0.01·y i-1 | - |
- средние уровни ряда;
- средние показатели изменения уровней ряда.
Для нахождения среднего уровня моментного ряда используют среднюю хронологическую: .
Средний абсолютный прирост рассчитывается в зависимости от исходных данных следующими способами:
или
Средний коэффициент роста (снижения):
или, .
Средний темп прироста (снижения):
.
В следующем примере найдем средний размер фонда заработной платы (для интервального ряда).
| Год | Фонд заработной платы, тыс.руб. |
| 1994 | 300 |
| 1995 | 349 |
| 1996 | 379 |
| 1997 | 450 |
| 1998 | 501 |
| 1999 | 581 |
| 2000 | 600 |
| 2001 | 648 |
| 2002 | 677 |
| 2003 | 748 |
| 2004 | 800 |
Средний уровень интервального ряда рассчитывается по формуле:
Средний размер ФЗП с 1994 по 2004 составил 548.45 тыс. руб.
Средний темп роста
В среднем за весь период с 1994 по 2004 рост ФЗП составил 1.1 (ежегодно увеличивался на 10%).
Средний темп прироста
Средний абсолютный прирост
В среднем за весь период фонд заработной платы увеличивался на 50 тыс. руб. с каждым годом.
В следующем примере найдем среднюю численность производственного персонала (для моментного ряда).
Цепные показатели ряда динамики
.
| Период | численность ППП | Абсолютный прирост | Темп прироста, % | Темпы роста, % | Абсолютное содержание 1% прироста | Темп наращения, % |
| 1994 | 470 | 0 | 0 | 100 | 4.7 | 0 |
| 1995 | 500 | 30 | 6.38 | 106.38 | 4.7 | 6.38 |
| 1996 | 505 | 5 | 1 | 101 | 5 | 1.06 |
| 1997 | 533 | 28 | 5.54 | 105.54 | 5.05 | 5.96 |
| 1998 | 540 | 7 | 1.31 | 101.31 | 5.33 | 1.49 |
| 1999 | 589 | 49 | 9.07 | 109.07 | 5.4 | 10.43 |
| 2000 | 577 | -12 | -2.04 | 97.96 | 5.89 | -2.55 |
| 2001 | 594 | 17 | 2.95 | 102.95 | 5.77 | 3.62 |
| 2002 | 640 | 46 | 7.74 | 107.74 | 5.94 | 9.79 |
| 2003 | 628 | -12 | -1.88 | 98.13 | 6.4 | -2.55 |
| 2004 | 646 | 18 | 2.87 | 102.87 | 6.28 | 3.83 |
Для нахождения среднего уровня моментного ряда используют среднюю хронологическую:
Средняя численность промышленного персонала предприятия за анализируемый период составила 566.4 чел.